Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ Teoria dos Números Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Andre13000
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Mai 2017
21
14:12
Teoria dos Números
Calcule o máximo divisor comum entre todos os números da forma [tex3]x\cdot y\cdot z[/tex3]
, onde o triplo (x,y,z) é solução inteira da equação [tex3]x^2+y^2=z^2[/tex3]
, com [tex3]xyz\neq0[/tex3]
.
Editado pela última vez por Andre13000 em 21 Mai 2017, 14:12, em um total de 1 vez.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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undefinied3
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Mai 2017
21
16:48
Re: Teoria dos Números
Famosas ternas pitagóricas:
Tome x y z de modo que mdc(x,y,z)=1. Podemos fazer isso porque, caso mdc(x,y,z)=d, teríamos
[tex3]x'^2d^2+y'^2d^2=z'^2d^2[/tex3]
O d cancela e obteríamos uma terna com mdc(x',y',z')=1 de qualquer maneira.
[tex3]x^2+y^2=z^2 \rightarrow x^2=(z-y)(z+y)[/tex3]
Então [tex3]z-y=u^2[/tex3] , [tex3]z+y=v^2[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
z-y=u^2 \\
z+y=v^2
\end{cases} \rightarrow z=\frac{u^2+v^2}{2}, \ y=\frac{v^2-u^2}{2}[/tex3]
[tex3]x=uv[/tex3]
Note como u e v devem ter paridade distintas.
Sem perda de generalidade, tome [tex3]x'=2x[/tex3] , [tex3]y'=2y[/tex3] e [tex3]z'=2z[/tex3] . Só que eu vou continuar usando x,y,z
De maneira que [tex3]xyz=2uv.(v^2-u^2)(v^2+u^2)=2uv(v^4-u^4)[/tex3]
Repare como podemos tomar u=2 e v um primo qualquer diferente de 2 (pois u e v devem ter paridades distintas), de modo que [tex3]mdc(4p_1(p_1^4-16),4p_2(p_2^4-16))=4*mdc(p_1^5-16p_1,p_2^5-16p_2)[/tex3]
[tex3]u^5-16u=(u^3-4u)(u^2+4)=u(u-2)(u+2)(u^2+4)[/tex3]
Agora, repare: (u-2) * u * (u+2) é um produto de tres numeros com distancia 2 um de cada. Por exemplo, 1*3*5, 2*4*6, etc. Como p é primo, ele é impar. Isso implica [tex3]15|(u-2)u(u+2)[/tex3] (demonstração simples, deixo pra você).
[tex3]4*mdc(p_1^5-16p_1,p_2^5-16p_2)=60*mdc(k_1(p_1^2+4),k_2(p_2^2+4))[/tex3]
A resposta é 60, mas eu não sei provar que esse mdc restante é igual a 1. Se eu pensar em algo, mais tarde posto de novo.
Tome x y z de modo que mdc(x,y,z)=1. Podemos fazer isso porque, caso mdc(x,y,z)=d, teríamos
[tex3]x'^2d^2+y'^2d^2=z'^2d^2[/tex3]
O d cancela e obteríamos uma terna com mdc(x',y',z')=1 de qualquer maneira.
[tex3]x^2+y^2=z^2 \rightarrow x^2=(z-y)(z+y)[/tex3]
Então [tex3]z-y=u^2[/tex3] , [tex3]z+y=v^2[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
z-y=u^2 \\
z+y=v^2
\end{cases} \rightarrow z=\frac{u^2+v^2}{2}, \ y=\frac{v^2-u^2}{2}[/tex3]
[tex3]x=uv[/tex3]
Note como u e v devem ter paridade distintas.
Sem perda de generalidade, tome [tex3]x'=2x[/tex3] , [tex3]y'=2y[/tex3] e [tex3]z'=2z[/tex3] . Só que eu vou continuar usando x,y,z
De maneira que [tex3]xyz=2uv.(v^2-u^2)(v^2+u^2)=2uv(v^4-u^4)[/tex3]
Repare como podemos tomar u=2 e v um primo qualquer diferente de 2 (pois u e v devem ter paridades distintas), de modo que [tex3]mdc(4p_1(p_1^4-16),4p_2(p_2^4-16))=4*mdc(p_1^5-16p_1,p_2^5-16p_2)[/tex3]
[tex3]u^5-16u=(u^3-4u)(u^2+4)=u(u-2)(u+2)(u^2+4)[/tex3]
Agora, repare: (u-2) * u * (u+2) é um produto de tres numeros com distancia 2 um de cada. Por exemplo, 1*3*5, 2*4*6, etc. Como p é primo, ele é impar. Isso implica [tex3]15|(u-2)u(u+2)[/tex3] (demonstração simples, deixo pra você).
[tex3]4*mdc(p_1^5-16p_1,p_2^5-16p_2)=60*mdc(k_1(p_1^2+4),k_2(p_2^2+4))[/tex3]
A resposta é 60, mas eu não sei provar que esse mdc restante é igual a 1. Se eu pensar em algo, mais tarde posto de novo.
Editado pela última vez por undefinied3 em 21 Mai 2017, 16:48, em um total de 2 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Andre13000
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Mai 2017
21
17:00
Re: Teoria dos Números
Hmm to vendo que to precisando dar uma estudada nessa conteúdo kkkkkk. Acho meio chatinho 
. Pelo menos raramente cai esse tipo de negócio em concursos.
. Pelo menos raramente cai esse tipo de negócio em concursos.“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
-
Auto Excluído (ID:12031)
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Mai 2017
21
17:20
Re: Teoria dos Números
a menor tripla é [tex3](3,4,5)[/tex3]
o produto dela é [tex3]60[/tex3]
é fácil ver que 3 sempre divide o produto [tex3]xyz[/tex3] como [tex3]x=uv[/tex3] se qualquer um de u ou v for divisivel por 3 acabou.
Agora suponhamos então que [tex3]u = \pm 1 \mod 3[/tex3] e que [tex3]v =\pm 1 \mod 3[/tex3] nao necessariamente (mas podendo terem) o mesmo valor. então: [tex3]u^2-v^2 = 1 - 1 = 0 \mod 3[/tex3] e dai [tex3]y[/tex3] será divisível por 3. Então 3 faz parte.
Mesma coisa pra 5: Se [tex3]|u| = |v| \mod 5[/tex3] então [tex3]y[/tex3] será divisível por 5.
Suponha então [tex3]u = \pm 1 \mod 5[/tex3] e [tex3]v = \pm 2 \mod 5[/tex3] então [tex3]u^2 + v^2 = 1 + 4 = 5 = 0 \mod 5[/tex3]
então 5 sempre divide o conjunto.
O mdc já é no mínimo 15.
Se [tex3]u,v[/tex3] forem ímpares [tex3]u=2n+1,v=2m+1[/tex3] então [tex3]u^2-v^2 = (u-v)(u+v) = (2n-2m)(2n+2m+2) = 4(n-m)(n+m+1)[/tex3]
se m e n forem par teremos que y é divisível por 4. se eles forem ímpares a subtração é par e y continua sendo divisível por 4. Se um for par e o outro for impar o termo da direita é par. Logo o mdc é 60.
Não considerei quando u é par e v é ímpar pois u e v devem ter a mesma paridade pra z e y existirem
é fácil ver que 3 sempre divide o produto [tex3]xyz[/tex3] como [tex3]x=uv[/tex3] se qualquer um de u ou v for divisivel por 3 acabou.
Agora suponhamos então que [tex3]u = \pm 1 \mod 3[/tex3] e que [tex3]v =\pm 1 \mod 3[/tex3] nao necessariamente (mas podendo terem) o mesmo valor. então: [tex3]u^2-v^2 = 1 - 1 = 0 \mod 3[/tex3] e dai [tex3]y[/tex3] será divisível por 3. Então 3 faz parte.
Mesma coisa pra 5: Se [tex3]|u| = |v| \mod 5[/tex3] então [tex3]y[/tex3] será divisível por 5.
Suponha então [tex3]u = \pm 1 \mod 5[/tex3] e [tex3]v = \pm 2 \mod 5[/tex3] então [tex3]u^2 + v^2 = 1 + 4 = 5 = 0 \mod 5[/tex3]
então 5 sempre divide o conjunto.
O mdc já é no mínimo 15.
Se [tex3]u,v[/tex3] forem ímpares [tex3]u=2n+1,v=2m+1[/tex3] então [tex3]u^2-v^2 = (u-v)(u+v) = (2n-2m)(2n+2m+2) = 4(n-m)(n+m+1)[/tex3]
se m e n forem par teremos que y é divisível por 4. se eles forem ímpares a subtração é par e y continua sendo divisível por 4. Se um for par e o outro for impar o termo da direita é par. Logo o mdc é 60.
Não considerei quando u é par e v é ímpar pois u e v devem ter a mesma paridade pra z e y existirem
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 21 Mai 2017, 17:20, em um total de 4 vezes.
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