Olimpíadas

Calcule o máximo divisor comum entre todos os números da forma [tex3]x\cdot y\cdot z[/tex3] , onde o triplo (x,y,z) é solução inteira da equação [tex3]x^2+y^2=z^2[/tex3] , com [tex3]xyz\neq0[/tex3] .

Famosas ternas pitagóricas:

Tome x y z de modo que mdc(x,y,z)=1. Podemos fazer isso porque, caso mdc(x,y,z)=d, teríamos
[tex3]x'^2d^2+y'^2d^2=z'^2d^2[/tex3]
O d cancela e obteríamos uma terna com mdc(x',y',z')=1 de qualquer maneira.

[tex3]x^2+y^2=z^2 \rightarrow x^2=(z-y)(z+y)[/tex3]
Então [tex3]z-y=u^2[/tex3] , [tex3]z+y=v^2[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
z-y=u^2 \\
z+y=v^2
\end{cases} \rightarrow z=\frac{u^2+v^2}{2}, \ y=\frac{v^2-u^2}{2}[/tex3]
[tex3]x=uv[/tex3]
Note como u e v devem ter paridade distintas.
Sem perda de generalidade, tome [tex3]x'=2x[/tex3] , [tex3]y'=2y[/tex3] e [tex3]z'=2z[/tex3] . Só que eu vou continuar usando x,y,z

De maneira que [tex3]xyz=2uv.(v^2-u^2)(v^2+u^2)=2uv(v^4-u^4)[/tex3]

Repare como podemos tomar u=2 e v um primo qualquer diferente de 2 (pois u e v devem ter paridades distintas), de modo que [tex3]mdc(4p_1(p_1^4-16),4p_2(p_2^4-16))=4*mdc(p_1^5-16p_1,p_2^5-16p_2)[/tex3]
[tex3]u^5-16u=(u^3-4u)(u^2+4)=u(u-2)(u+2)(u^2+4)[/tex3]
Agora, repare: (u-2) * u * (u+2) é um produto de tres numeros com distancia 2 um de cada. Por exemplo, 1*3*5, 2*4*6, etc. Como p é primo, ele é impar. Isso implica [tex3]15|(u-2)u(u+2)[/tex3] (demonstração simples, deixo pra você).
[tex3]4*mdc(p_1^5-16p_1,p_2^5-16p_2)=60*mdc(k_1(p_1^2+4),k_2(p_2^2+4))[/tex3]
A resposta é 60, mas eu não sei provar que esse mdc restante é igual a 1. Se eu pensar em algo, mais tarde posto de novo.

Hmm to vendo que to precisando dar uma estudada nessa conteúdo kkkkkk. Acho meio chatinho

. Pelo menos raramente cai esse tipo de negócio em concursos.

a menor tripla é [tex3](3,4,5)[/tex3] o produto dela é [tex3]60[/tex3]

é fácil ver que 3 sempre divide o produto [tex3]xyz[/tex3] como [tex3]x=uv[/tex3] se qualquer um de u ou v for divisivel por 3 acabou.
Agora suponhamos então que [tex3]u = \pm 1 \mod 3[/tex3] e que [tex3]v =\pm 1 \mod 3[/tex3] nao necessariamente (mas podendo terem) o mesmo valor. então: [tex3]u^2-v^2 = 1 - 1 = 0 \mod 3[/tex3] e dai [tex3]y[/tex3] será divisível por 3. Então 3 faz parte.

Mesma coisa pra 5: Se [tex3]|u| = |v| \mod 5[/tex3] então [tex3]y[/tex3] será divisível por 5.
Suponha então [tex3]u = \pm 1 \mod 5[/tex3] e [tex3]v = \pm 2 \mod 5[/tex3] então [tex3]u^2 + v^2 = 1 + 4 = 5 = 0 \mod 5[/tex3]
então 5 sempre divide o conjunto.
O mdc já é no mínimo 15.

Se [tex3]u,v[/tex3] forem ímpares [tex3]u=2n+1,v=2m+1[/tex3] então [tex3]u^2-v^2 = (u-v)(u+v) = (2n-2m)(2n+2m+2) = 4(n-m)(n+m+1)[/tex3]
se m e n forem par teremos que y é divisível por 4. se eles forem ímpares a subtração é par e y continua sendo divisível por 4. Se um for par e o outro for impar o termo da direita é par. Logo o mdc é 60.

Não considerei quando u é par e v é ímpar pois u e v devem ter a mesma paridade pra z e y existirem

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