Sejam [tex3]x,y,z,c>0[/tex3]
[tex3]xy+yz+xz+xyz=c[/tex3]
Determine todos os valores de c para os quais também seja válido:
[tex3]x+y+z \geq xy+yz+zx[/tex3]
de modo que seja satisfeito:Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos![🥰](//cdn.jsdelivr.net/gh/twitter/twemoji@latest/assets/svg/1f970.svg)
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
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Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ (Austria) Condição de desigualdade
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Mai 2017
16
21:28
(Austria) Condição de desigualdade
Editado pela última vez por undefinied3 em 16 Mai 2017, 21:28, em um total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Mai 2017
18
22:51
Re: (Austria) Condição de desigualdade
[tex3]x+y+z \geq xy+xz+yz[/tex3]
[tex3]x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}[/tex3]
[tex3]xy+xz+yz \geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}[/tex3]
[tex3]\therefore \sqrt[3]{xyz}\geq\sqrt[3]{x^2y^2z^2} \rightarrow xyz(xyz-1) \leq 0[/tex3] , mas os termos são todos positivos, então segue que [tex3]xyz \leq 1[/tex3] .
EDIT: Vacilei na desigualdade. Na verdade parece que pra todo [tex3]c>0[/tex3] tem como definir [tex3]xy+yz+xz+xyz=c[/tex3] de modo que [tex3]xyz \leq 1[/tex3] , mas ainda não tenho certeza.
[tex3]x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}[/tex3]
[tex3]xy+xz+yz \geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}[/tex3]
[tex3]\therefore \sqrt[3]{xyz}\geq\sqrt[3]{x^2y^2z^2} \rightarrow xyz(xyz-1) \leq 0[/tex3] , mas os termos são todos positivos, então segue que [tex3]xyz \leq 1[/tex3] .
EDIT: Vacilei na desigualdade. Na verdade parece que pra todo [tex3]c>0[/tex3] tem como definir [tex3]xy+yz+xz+xyz=c[/tex3] de modo que [tex3]xyz \leq 1[/tex3] , mas ainda não tenho certeza.
Editado pela última vez por undefinied3 em 18 Mai 2017, 22:51, em um total de 3 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Mai 2017
19
22:08
Re: (Austria) Condição de desigualdade
Não sei se ajuda mas seja o polinômio [tex3]P(z)=z^3+mz^2+pz+q[/tex3]
[tex3]p-q=c\\
-m\geq p\\
m\leq -q-c[/tex3]
Fazendo P(-1):
[tex3]P(-1)=-1+m-p+q\\
P(-1)=-1+m-c\\
m=P(-1)+c+1\\
P(-1)+c+1\leq -q-c\\
P(-1)+2c+q+1\leq 0[/tex3]
Talvez seja por aí, mas provavelmente é para brincar com desigualdades mesmo. Amanhã vejo aonde chego com isso.
tal que suas raízes sejam x, y, z. Então:[tex3]p-q=c\\
-m\geq p\\
m\leq -q-c[/tex3]
Fazendo P(-1):
[tex3]P(-1)=-1+m-p+q\\
P(-1)=-1+m-c\\
m=P(-1)+c+1\\
P(-1)+c+1\leq -q-c\\
P(-1)+2c+q+1\leq 0[/tex3]
Talvez seja por aí, mas provavelmente é para brincar com desigualdades mesmo. Amanhã vejo aonde chego com isso.
Editado pela última vez por Andre13000 em 19 Mai 2017, 22:08, em um total de 1 vez.
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Set 2017
26
12:17
Re: (Austria) Condição de desigualdade
[tex3]P(1)=1+m+p+q = 1 + P(-1)+c+1+c+q+q[/tex3]
[tex3]P(1)-P(-1)-2=2(q+c)[/tex3]
[tex3]P(-1)+c+1 \leq \frac{2+P(-1)-P(1)}{2}[/tex3]
[tex3]c \leq \frac{-P(-1)-P(1)}2[/tex3]
acho que dá pra deixar c em função de outros valores e obter desigualdades no polinômio P sim
[tex3]P(1)-P(-1)-2=2(q+c)[/tex3]
[tex3]P(-1)+c+1 \leq \frac{2+P(-1)-P(1)}{2}[/tex3]
[tex3]c \leq \frac{-P(-1)-P(1)}2[/tex3]
acho que dá pra deixar c em função de outros valores e obter desigualdades no polinômio P sim
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