Olimpíadas(Austria) Condição de desigualdade

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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undefinied3
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Mai 2017 16 21:28

(Austria) Condição de desigualdade

Mensagem não lida por undefinied3 » Ter 16 Mai, 2017 21:28

Sejam [tex3]x,y,z,c>0[/tex3] de modo que seja satisfeito:
[tex3]xy+yz+xz+xyz=c[/tex3]
Determine todos os valores de c para os quais também seja válido:
[tex3]x+y+z \geq xy+yz+zx[/tex3]

Última edição: undefinied3 (Ter 16 Mai, 2017 21:28). Total de 1 vez.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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undefinied3
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Mai 2017 18 22:51

Re: (Austria) Condição de desigualdade

Mensagem não lida por undefinied3 » Qui 18 Mai, 2017 22:51

[tex3]x+y+z \geq xy+xz+yz[/tex3]

[tex3]x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}[/tex3]
[tex3]xy+xz+yz \geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}[/tex3]
[tex3]\therefore \sqrt[3]{xyz}\geq\sqrt[3]{x^2y^2z^2} \rightarrow xyz(xyz-1) \leq 0[/tex3] , mas os termos são todos positivos, então segue que [tex3]xyz \leq 1[/tex3] .

EDIT: Vacilei na desigualdade. Na verdade parece que pra todo [tex3]c>0[/tex3] tem como definir [tex3]xy+yz+xz+xyz=c[/tex3] de modo que [tex3]xyz \leq 1[/tex3] , mas ainda não tenho certeza.

Última edição: undefinied3 (Qui 18 Mai, 2017 22:51). Total de 3 vezes.


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Mai 2017 19 22:08

Re: (Austria) Condição de desigualdade

Mensagem não lida por Andre13000 » Sex 19 Mai, 2017 22:08

Não sei se ajuda mas seja o polinômio [tex3]P(z)=z^3+mz^2+pz+q[/tex3] tal que suas raízes sejam x, y, z. Então:

[tex3]p-q=c\\
-m\geq p\\
m\leq -q-c[/tex3]

Fazendo P(-1):

[tex3]P(-1)=-1+m-p+q\\
P(-1)=-1+m-c\\
m=P(-1)+c+1\\
P(-1)+c+1\leq -q-c\\
P(-1)+2c+q+1\leq 0[/tex3]

Talvez seja por aí, mas provavelmente é para brincar com desigualdades mesmo. Amanhã vejo aonde chego com isso.
Última edição: Andre13000 (Sex 19 Mai, 2017 22:08). Total de 1 vez.


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sousóeu
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Set 2017 26 12:17

Re: (Austria) Condição de desigualdade

Mensagem não lida por sousóeu » Ter 26 Set, 2017 12:17

[tex3]P(1)=1+m+p+q = 1 + P(-1)+c+1+c+q+q[/tex3]
[tex3]P(1)-P(-1)-2=2(q+c)[/tex3]
[tex3]P(-1)+c+1 \leq \frac{2+P(-1)-P(1)}{2}[/tex3]
[tex3]c \leq \frac{-P(-1)-P(1)}2[/tex3]
acho que dá pra deixar c em função de outros valores e obter desigualdades no polinômio P sim




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