Olimpíadas ⇒ Olimpíada Júnior do Azerbaijão - 2016 - Álgebra Tópico resolvido

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Na representação decimal
[tex3]34!=295232799039a041408476186096435b0000000[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]34!=295232799039a041408476186096435b0000000[/tex3]

.
Encontre os valores de [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

.

[Ittalo25]

[tex3]34![/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]34![/tex3]

é múltiplo de 3 e de 11.

Basta dar uma olhada nos critérios de divisibilidade por 3 e por 11 que o exercício fica fácil de ser resolvido.

Agora estou de saída, não posso resolver

[undefinied3]

O número deve ser divisível por 11:

[tex3]0+0+0+0+5+4+9+6+1+7+8+4+4+a+3+9+7+3+5+2-(0+0+0+b+3+6+0+8+6+4+0+1+0+9+0+9+2+2+9)=11k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0+0+0+0+5+4+9+6+1+7+8+4+4+a+3+9+7+3+5+2-(0+0+0+b+3+6+0+8+6+4+0+1+0+9+0+9+2+2+9)=11k[/tex3]

[tex3]a+77-(b+59)=11k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+77-(b+59)=11k[/tex3]

[tex3]a-b+18=11k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a-b+18=11k[/tex3]

[tex3]a-b+7=11(k-1)=11k'[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a-b+7=11(k-1)=11k'[/tex3]

Como a e b são algarismos, temos as possibilidades (a,b,k'):
(0,7,0), (1,8,0), (2,9,0)
(4,0,1), (5,1,1), (6,2,1), (7,3,1) (8,4,1) (9,5,1)
Ainda precisamos de mais informação. 34! é divisível por [tex3]2^8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^8[/tex3]

, então o número formado pelos 8 últimos algarismos é divisível por [tex3]2^8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^8[/tex3]

, ou seja:
[tex3]256|b0000000[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]256|b0000000[/tex3]

As possibilidades são 0 2 4 8 para b, sobrando os pares (1,8), (4,0), (6,2), (8,4)
Por último, divisibilidade por 9:
[tex3]0+0+0+0+5+4+9+6+1+7+8+4+4+a+3+9+7+3+5+2+0+0+0+b+3+6+0+8+6+4+0+1+0+9+0+9+2+2+9=9k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0+0+0+0+5+4+9+6+1+7+8+4+4+a+3+9+7+3+5+2+0+0+0+b+3+6+0+8+6+4+0+1+0+9+0+9+2+2+9=9k[/tex3]

[tex3]a+b+136=9k \rightarrow a+b+1=9k'[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+136=9k \rightarrow a+b+1=9k'[/tex3]

Finalmente, o único par que satisfaz é (a,b)=(6,2)

Então o número é
295232799039604140847618609643520000000

EDIT: Ittalo falou antes de eu postar. Realmente, o critério de divisibilidade por 256 não foi necessário no final das contas, porque o único par (a,b) que iria satisfazer o critério por 9 dos que satisfazem o por 11 é o (6,2).