Seja [tex3]abcd[/tex3]
0003, ..., 9998, 9999[/tex3]
. Dizemos que [tex3]abcd[/tex3]
é especial se [tex3]ab-cd[/tex3]
e [tex3]ab+cd[/tex3]
são quadrados perfeitos, [tex3]ab-cd[/tex3]
divide [tex3]ab+cd[/tex3]
, é além disso [tex3]ab+cd[/tex3]
divide [tex3]abcd[/tex3]
. Por exemplo, 2016 é especial.
Encontrar todos os números [tex3]abcd[/tex3]
especiais.
Nota. Se [tex3]abcd = 0206[/tex3]
então [tex3]ab = 02[/tex3]
e [tex3]cd = 05.[/tex3]
um dos [tex3]9999[/tex3]
números [tex3]0001, 0002,Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ Cone Sul - 2016 - Álgebra Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
- Última visita: 31-12-69
Abr 2017
25
05:32
Cone Sul - 2016 - Álgebra
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17906) em 25 Abr 2017, 05:32, em um total de 2 vezes.
-
- Mensagens: 2349
- Registrado em: 18 Nov 2013, 22:11
- Última visita: 27-03-24
- Agradeceu: 299 vezes
- Agradeceram: 1401 vezes
Abr 2017
25
20:48
Re: Cone Sul - 2016 - Álgebra
Vou deixar uns pensamentos aqui, talvez ajude alguém a conseguir resolver
[tex3]10a+b+10c+d = \overline{ab}+\overline{cd}[/tex3] é um quadrado perfeito e [tex3]max\{10a+b+10c+d\} = 198[/tex3] , logo: [tex3]10a+b+10c+d \in \{(1)^2, ( 2)^2, (3)^2, ..., (14)^2\}[/tex3] .
De [tex3]\overline{ab}+\overline{cd} | \overline{abcd}[/tex3] segue que:
[tex3]10a+b+10c+d | 1000a +100b+10c+d[/tex3]
[tex3]10a+b+10c+d | 1000a +100b+10c+d - (10a+b+10c+d)[/tex3]
[tex3]10a+b+10c+d | 3^2 \cdot 11 \cdot (10a +b)[/tex3]
De:
[tex3]\begin{cases}
\overline{ab}+\overline{cd} | \overline{abcd} \\
\overline{ab}-\overline{cd} | \overline{ab}+\overline{cd}
\end{cases}[/tex3]
segue pela transitividade que:
[tex3]\overline{ab}-\overline{cd} | \overline{abcd}[/tex3] , ou seja:
[tex3]\overline{ab}-\overline{cd} | \overline{abcd}[/tex3]
[tex3]10a+b-10c-d |1000a +100b+10c+d[/tex3]
[tex3]10a+b-10c-d |1000a +100b+10c+d+(10a+b-10c-d )[/tex3]
[tex3]10a+b-10c-d |101 \cdot (10a +b)[/tex3]
Mas 101 é primo e [tex3]max\{10a+b-10c-d\} = 99[/tex3] , logo:
[tex3]10a+b-10c-d |10a +b[/tex3]
[tex3]10a+b-10c-d = \overline{ab}-\overline{cd}[/tex3] é um quadrado perfeito e [tex3]max\{10a+b-10c-d\} = 99[/tex3] , logo: [tex3]10a+b-10c-d \in \{(\pm 1)^2, (\pm 2)^2, (\pm 3)^2, ..., (\pm 9)^2\}[/tex3] .
[tex3]10a+b+10c+d = \overline{ab}+\overline{cd}[/tex3] é um quadrado perfeito e [tex3]max\{10a+b+10c+d\} = 198[/tex3] , logo: [tex3]10a+b+10c+d \in \{(1)^2, ( 2)^2, (3)^2, ..., (14)^2\}[/tex3] .
De [tex3]\overline{ab}+\overline{cd} | \overline{abcd}[/tex3] segue que:
[tex3]10a+b+10c+d | 1000a +100b+10c+d[/tex3]
[tex3]10a+b+10c+d | 1000a +100b+10c+d - (10a+b+10c+d)[/tex3]
[tex3]10a+b+10c+d | 3^2 \cdot 11 \cdot (10a +b)[/tex3]
De:
[tex3]\begin{cases}
\overline{ab}+\overline{cd} | \overline{abcd} \\
\overline{ab}-\overline{cd} | \overline{ab}+\overline{cd}
\end{cases}[/tex3]
segue pela transitividade que:
[tex3]\overline{ab}-\overline{cd} | \overline{abcd}[/tex3] , ou seja:
[tex3]\overline{ab}-\overline{cd} | \overline{abcd}[/tex3]
[tex3]10a+b-10c-d |1000a +100b+10c+d[/tex3]
[tex3]10a+b-10c-d |1000a +100b+10c+d+(10a+b-10c-d )[/tex3]
[tex3]10a+b-10c-d |101 \cdot (10a +b)[/tex3]
Mas 101 é primo e [tex3]max\{10a+b-10c-d\} = 99[/tex3] , logo:
[tex3]10a+b-10c-d |10a +b[/tex3]
[tex3]10a+b-10c-d = \overline{ab}-\overline{cd}[/tex3] é um quadrado perfeito e [tex3]max\{10a+b-10c-d\} = 99[/tex3] , logo: [tex3]10a+b-10c-d \in \{(\pm 1)^2, (\pm 2)^2, (\pm 3)^2, ..., (\pm 9)^2\}[/tex3] .
Editado pela última vez por Ittalo25 em 25 Abr 2017, 20:48, em um total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
-
- Mensagens: 1483
- Registrado em: 02 Ago 2015, 13:51
- Última visita: 30-09-22
- Agradeceu: 104 vezes
- Agradeceram: 1197 vezes
Abr 2017
26
20:24
Re: Cone Sul - 2016 - Álgebra
[tex3]ab-cd=u^2<100[/tex3]
[tex3]ab+cd=v^2<198[/tex3] , então [tex3]v < 15[/tex3]
[tex3]2ab=u^2+v^2 \rightarrow ab=\frac{u^2+v^2}{2}[/tex3]
[tex3]2cd=v^2-y^2 \rightarrow cd=\frac{v^2-u^2}{2}[/tex3]
Então u e v possuem mesma paridade
Além disso, [tex3]u^2 | v^2 \rightarrow v^2=ku^2[/tex3] segue que [tex3]k=k'^2[/tex3]
[tex3]v=k'u < 15[/tex3]
Então temos os pares (k',u)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) ... (1,14)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3)
(5,1) (5,2)
(6,1) (6,2)
(7,1) (7,2)
(8,1)
...
(14,1)
Mas pelo argumento da paridade, se u for ímpar, k' deve ser ímpar, então ficamos com
(1,1) (1,2) .. (1,14)
(2,2) (2,4) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,2) (5,1) (5,2)
(6,2) (7,1) (7,2)
(9,1) (11,1) (13,1)
Finalmente, [tex3]ab+cd | abcd \rightarrow v^2|100\frac{(u^2+v^2)}{2}+\frac{v^2-u ^2}{2}=\frac{101v^2+99u^2}{2}[/tex3]
Então [tex3]v^2|101v^2+99u^2 \rightarrow v^2|99u^2[/tex3]
[tex3]99u^2=pv^2 \rightarrow 99u^2=pk'^2u^2 \rightarrow 99=pk'^2 \rightarrow k'^2=\frac{9.11}{p}[/tex3] , segue que p=11 ou p=99
Se p=11, [tex3]k'=3[/tex3] . Da lista de pares, tiramos (3,1) (3,2) (3,3) (3,4), então [tex3]v^2=9,u^2=1[/tex3] , [tex3]v^2=36,u^2=4[/tex3] , [tex3]v^2=81,u^2=9[/tex3] , [tex3]v^2=144,u^2=16[/tex3]
Temos os números
[tex3]0504[/tex3]
[tex3]2016[/tex3]
[tex3]4536[/tex3]
[tex3]8064[/tex3]
Se p=99, [tex3]k'=1[/tex3] , da onde tiramos todos os pares (1,1) (1,2) .. (1,14), e assim [tex3]v^2=u^2=1^2,2^2,3^2...14^2[/tex3] , então cd=0 e temos os números:
[tex3]0100[/tex3] [tex3]0400[/tex3] [tex3]0900[/tex3] [tex3]1600[/tex3] [tex3]2500[/tex3] ... [tex3]8100[/tex3]
Acho que é isso.
, então [tex3]u < 10[/tex3]
[tex3]ab+cd=v^2<198[/tex3] , então [tex3]v < 15[/tex3]
[tex3]2ab=u^2+v^2 \rightarrow ab=\frac{u^2+v^2}{2}[/tex3]
[tex3]2cd=v^2-y^2 \rightarrow cd=\frac{v^2-u^2}{2}[/tex3]
Então u e v possuem mesma paridade
Além disso, [tex3]u^2 | v^2 \rightarrow v^2=ku^2[/tex3] segue que [tex3]k=k'^2[/tex3]
[tex3]v=k'u < 15[/tex3]
Então temos os pares (k',u)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) ... (1,14)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3)
(5,1) (5,2)
(6,1) (6,2)
(7,1) (7,2)
(8,1)
...
(14,1)
Mas pelo argumento da paridade, se u for ímpar, k' deve ser ímpar, então ficamos com
(1,1) (1,2) .. (1,14)
(2,2) (2,4) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,2) (5,1) (5,2)
(6,2) (7,1) (7,2)
(9,1) (11,1) (13,1)
Finalmente, [tex3]ab+cd | abcd \rightarrow v^2|100\frac{(u^2+v^2)}{2}+\frac{v^2-u ^2}{2}=\frac{101v^2+99u^2}{2}[/tex3]
Então [tex3]v^2|101v^2+99u^2 \rightarrow v^2|99u^2[/tex3]
[tex3]99u^2=pv^2 \rightarrow 99u^2=pk'^2u^2 \rightarrow 99=pk'^2 \rightarrow k'^2=\frac{9.11}{p}[/tex3] , segue que p=11 ou p=99
Se p=11, [tex3]k'=3[/tex3] . Da lista de pares, tiramos (3,1) (3,2) (3,3) (3,4), então [tex3]v^2=9,u^2=1[/tex3] , [tex3]v^2=36,u^2=4[/tex3] , [tex3]v^2=81,u^2=9[/tex3] , [tex3]v^2=144,u^2=16[/tex3]
Temos os números
[tex3]0504[/tex3]
[tex3]2016[/tex3]
[tex3]4536[/tex3]
[tex3]8064[/tex3]
Se p=99, [tex3]k'=1[/tex3] , da onde tiramos todos os pares (1,1) (1,2) .. (1,14), e assim [tex3]v^2=u^2=1^2,2^2,3^2...14^2[/tex3] , então cd=0 e temos os números:
[tex3]0100[/tex3] [tex3]0400[/tex3] [tex3]0900[/tex3] [tex3]1600[/tex3] [tex3]2500[/tex3] ... [tex3]8100[/tex3]
Acho que é isso.
Editado pela última vez por undefinied3 em 26 Abr 2017, 20:24, em um total de 3 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 1 Respostas
- 684 Exibições
-
Última mensagem por Kakashi
-
- 8 Respostas
- 2632 Exibições
-
Última mensagem por Júlia030412