OlimpíadasCone Sul - 2016 - Álgebra Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:17906)
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Abr 2017 25 05:32

Cone Sul - 2016 - Álgebra

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) »

Seja [tex3]abcd[/tex3] um dos [tex3]9999[/tex3] números [tex3]0001, 0002,
0003, ..., 9998, 9999[/tex3] . Dizemos que [tex3]abcd[/tex3] é especial se [tex3]ab-cd[/tex3] e [tex3]ab+cd[/tex3] são quadrados perfeitos, [tex3]ab-cd[/tex3] divide [tex3]ab+cd[/tex3] , é além disso [tex3]ab+cd[/tex3] divide [tex3]abcd[/tex3] . Por exemplo, 2016 é especial.
Encontrar todos os números [tex3]abcd[/tex3] especiais.
Nota. Se [tex3]abcd = 0206[/tex3] então [tex3]ab = 02[/tex3] e [tex3]cd = 05.[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Ter 25 Abr, 2017 05:32). Total de 2 vezes.



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Ittalo25
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Abr 2017 25 20:48

Re: Cone Sul - 2016 - Álgebra

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Vou deixar uns pensamentos aqui, talvez ajude alguém a conseguir resolver


[tex3]10a+b+10c+d = \overline{ab}+\overline{cd}[/tex3] é um quadrado perfeito e [tex3]max\{10a+b+10c+d\} = 198[/tex3] , logo: [tex3]10a+b+10c+d \in \{(1)^2, ( 2)^2, (3)^2, ..., (14)^2\}[/tex3] .

De [tex3]\overline{ab}+\overline{cd} | \overline{abcd}[/tex3] segue que:

[tex3]10a+b+10c+d | 1000a +100b+10c+d[/tex3]
[tex3]10a+b+10c+d | 1000a +100b+10c+d - (10a+b+10c+d)[/tex3]
[tex3]10a+b+10c+d | 3^2 \cdot 11 \cdot (10a +b)[/tex3]


De:

[tex3]\begin{cases}
\overline{ab}+\overline{cd} | \overline{abcd} \\
\overline{ab}-\overline{cd} | \overline{ab}+\overline{cd}
\end{cases}[/tex3]

segue pela transitividade que:

[tex3]\overline{ab}-\overline{cd} | \overline{abcd}[/tex3] , ou seja:

[tex3]\overline{ab}-\overline{cd} | \overline{abcd}[/tex3]
[tex3]10a+b-10c-d |1000a +100b+10c+d[/tex3]
[tex3]10a+b-10c-d |1000a +100b+10c+d+(10a+b-10c-d )[/tex3]
[tex3]10a+b-10c-d |101 \cdot (10a +b)[/tex3]

Mas 101 é primo e [tex3]max\{10a+b-10c-d\} = 99[/tex3] , logo:

[tex3]10a+b-10c-d |10a +b[/tex3]

[tex3]10a+b-10c-d = \overline{ab}-\overline{cd}[/tex3] é um quadrado perfeito e [tex3]max\{10a+b-10c-d\} = 99[/tex3] , logo: [tex3]10a+b-10c-d \in \{(\pm 1)^2, (\pm 2)^2, (\pm 3)^2, ..., (\pm 9)^2\}[/tex3] .

Última edição: Ittalo25 (Ter 25 Abr, 2017 20:48). Total de 1 vez.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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undefinied3
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Abr 2017 26 20:24

Re: Cone Sul - 2016 - Álgebra

Mensagem não lida por undefinied3 »

[tex3]ab-cd=u^2<100[/tex3] , então [tex3]u < 10[/tex3]
[tex3]ab+cd=v^2<198[/tex3] , então [tex3]v < 15[/tex3]
[tex3]2ab=u^2+v^2 \rightarrow ab=\frac{u^2+v^2}{2}[/tex3]
[tex3]2cd=v^2-y^2 \rightarrow cd=\frac{v^2-u^2}{2}[/tex3]
Então u e v possuem mesma paridade
Além disso, [tex3]u^2 | v^2 \rightarrow v^2=ku^2[/tex3] segue que [tex3]k=k'^2[/tex3]
[tex3]v=k'u < 15[/tex3]
Então temos os pares (k',u)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) ... (1,14)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3)
(5,1) (5,2)
(6,1) (6,2)
(7,1) (7,2)
(8,1)
...
(14,1)
Mas pelo argumento da paridade, se u for ímpar, k' deve ser ímpar, então ficamos com
(1,1) (1,2) .. (1,14)
(2,2) (2,4) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,2) (5,1) (5,2)
(6,2) (7,1) (7,2)
(9,1) (11,1) (13,1)

Finalmente, [tex3]ab+cd | abcd \rightarrow v^2|100\frac{(u^2+v^2)}{2}+\frac{v^2-u ^2}{2}=\frac{101v^2+99u^2}{2}[/tex3]
Então [tex3]v^2|101v^2+99u^2 \rightarrow v^2|99u^2[/tex3]
[tex3]99u^2=pv^2 \rightarrow 99u^2=pk'^2u^2 \rightarrow 99=pk'^2 \rightarrow k'^2=\frac{9.11}{p}[/tex3] , segue que p=11 ou p=99
Se p=11, [tex3]k'=3[/tex3] . Da lista de pares, tiramos (3,1) (3,2) (3,3) (3,4), então [tex3]v^2=9,u^2=1[/tex3] , [tex3]v^2=36,u^2=4[/tex3] , [tex3]v^2=81,u^2=9[/tex3] , [tex3]v^2=144,u^2=16[/tex3]
Temos os números
[tex3]0504[/tex3]
[tex3]2016[/tex3]
[tex3]4536[/tex3]
[tex3]8064[/tex3]

Se p=99, [tex3]k'=1[/tex3] , da onde tiramos todos os pares (1,1) (1,2) .. (1,14), e assim [tex3]v^2=u^2=1^2,2^2,3^2...14^2[/tex3] , então cd=0 e temos os números:
[tex3]0100[/tex3] [tex3]0400[/tex3] [tex3]0900[/tex3] [tex3]1600[/tex3] [tex3]2500[/tex3] ... [tex3]8100[/tex3]

Acho que é isso.

Última edição: undefinied3 (Qua 26 Abr, 2017 20:24). Total de 3 vezes.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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