Olimpíadas ⇒ IMO - 1959 - Álgebra Tópico resolvido

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Prove que a fração [tex3]\frac{21n + 4}{14n + 3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{21n + 4}{14n + 3}[/tex3]

é irredutível para todo número natural [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

.

[rodBR]

Provar que a fração é irredutível equivale mostrar que só existe um divisor comum para o numerador e denominador, ou seja o MDC(21n+4, 14n+3) = 1 (os números são primos entre si).

Veja que já tem no fórum: http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... rt=#p54677 .

Uma outra maneira:

Se o [tex3]\MDC(21n+4, 14n+3) = 1[/tex3]

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[tex3]\MDC(21n+4, 14n+3) = 1[/tex3]

, então existem "x" e "y" tal que:
[tex3]x\cdot (21n+4)+y\cdot (14n+3)=1[/tex3]

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[tex3]x\cdot (21n+4)+y\cdot (14n+3)=1[/tex3]

.

De fato, temos que:
[tex3]1=3\cdot (14n+3) - 2\cdot (21n+4)[/tex3]

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[tex3]1=3\cdot (14n+3) - 2\cdot (21n+4)[/tex3]

.

Espero ter ajudado.

abraços..

[brunopaivabp]

Provar que a fração é irredutível, é o mesmo que dizer que o [tex3]mdc(21n+4,14n+3)=1[/tex3]

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[tex3]mdc(21n+4,14n+3)=1[/tex3]

.

É possível provar isso utilizando o Lema de Euclides.
[tex3]mdc(a,b) = mdc(a,a-nb)[/tex3]

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[tex3]mdc(a,b) = mdc(a,a-nb)[/tex3]

Esse é um lema importantíssimo na Teoria dos Números, pois é ele que torna válido o Algoritmo de Euclides. [tex3]mdc(a,b)=mdc(b,r)[/tex3]

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[tex3]mdc(a,b)=mdc(b,r)[/tex3]

.

Dessa forma, [tex3]mdc(21n+4,14n+3)=mdc(21n+4 - (14n+3), 14n+3)=mdc(7n+1,14n+3) = mdc(14n+3 - (7n+1), 7n+1) = mdc(7n+2,7n+1) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]mdc(21n+4,14n+3)=mdc(21n+4 - (14n+3), 14n+3)=mdc(7n+1,14n+3) = mdc(14n+3 - (7n+1), 7n+1) = mdc(7n+2,7n+1) [/tex3]

[tex3]mdc(7n+2 - (7n+1), 7n+1) = mdc(7n+1,1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]mdc(7n+2 - (7n+1), 7n+1) = mdc(7n+1,1)[/tex3]

Sabemos que [tex3]mdc(k,1) = 1[/tex3]

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[tex3]mdc(k,1) = 1[/tex3]

para qualquer número k.
Portanto, [tex3]mdc(7n+1,1) = 1[/tex3]

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[tex3]mdc(7n+1,1) = 1[/tex3]

[tex3]Q.E.D.[/tex3]

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[tex3]Q.E.D.[/tex3]