OlimpíadasOlimpíada da Noruega - 1993 - Aritmética Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Abr 2017 23 18:10

Olimpíada da Noruega - 1993 - Aritmética

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) » Dom 23 Abr, 2017 18:10

Se adicionarmos 1 litro de água a uma solução formada por ácido e água a nova solução terá 20% de ácido. Adicionando 1 litro de ácido à nova solução, ela conterá 33[tex3]\frac{1}{3}[/tex3] % de ácido.
Determine a concentração de ácido na solução original.

a) 20%
b) 22,5%
c) 24%
d) 25%

Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Dom 23 Abr, 2017 18:10). Total de 1 vez.



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Ivo213
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Mai 2017 05 20:38

Re: Olimpíada da Noruega - 1993 - Aritmética

Mensagem não lida por Ivo213 » Sex 05 Mai, 2017 20:38

Boa noite, GuiBernardo.

Solução aritmética

ac = ácido
ag = água

Vindo do fim para o início:
[tex3]\frac{1}{3}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] concentração final
[tex3]\frac{1}{3}[/tex3] = [tex3]\frac{2}{6}[/tex3] = [tex3]\frac{3}{9}[/tex3] = ...

[tex3]\frac{2}{6}[/tex3] água em litros = [tex3]\frac{2(ac)}{2(ac)+4(ag)}[/tex3]

Retirando-se o litro de ácido acrescentado nessa última etapa, vem:
[tex3]\frac{(2-1)(ac)}{(2-1)(ac)+4(ag)}[/tex3] = [tex3]\frac{1}{5}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] concentração da nova

Retirando-se, por fim, o litro de água acrescentado na primeira etapa, fica:
[tex3]\frac{1(ac)}{1(ac) + (4-1)ag}[/tex3] = [tex3]\frac{1(ac)}{1(ac)+3(ag)}[/tex3] = [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] concentração inicial

[tex3]\frac{1}{4}[/tex3] = 0,25 = 25/100 = 25% [tex3]\rightarrow[/tex3] Alternativa (D)


Método algébrico:

y = quantidade de ácido em litros

[tex3]\frac{y}{x+y}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] concentração de ácido na solução original

[tex3]\frac{y}{y+(x+1)}[/tex3] = 1/5 [tex3]\rightarrow[/tex3] concentração ma nova solução
5y = y + x + 1
5y – y = x + 1
4y = x + 1
y = [tex3]\frac{x+1}{4}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] (I)

[tex3]\frac{y+1}{(y+1)+((x+1)}[/tex3] = [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] concentração de ácido na solução final
3(y+1) = (y+1) + (x+1)
3(y+1) - (y+1) = x+1
2(y+1) = x+1

Substituindo y por seu valor dado em (I), vem:
2([tex3]\frac{x+1}{4}[/tex3] + 1) = x+1
[tex3]\frac{2x+2}{4}[/tex3] + 2 = x+1

Colocando tudo sobre denominador 4, fica:
2x + 2 + 8 = 4x + 4
2x + 10 = 4x + 4
4x - 2x = 10 - 4
2x = 6
x = 6/2
x = 3 partes de água

y = [tex3]\frac{x+1}{4}[/tex3]
y = [tex3]\frac{3+1}{4}[/tex3]
y = 1 parte de ácido

Concentração de ácido na solução original:
[tex3]\frac{y}{x+y}[/tex3] = [tex3]\frac{1}{3+1}[/tex3] = 1/4

Concentração em porcentagem:
[tex3]\frac{1}{4}[/tex3] . 100 = 100/4 = 25%

Alternativa (D)



"Porque Deus amou ao mundo de tal maneira que deu o seu Filho unigênito, para que todo o que nele crê não pereça, mas tenha a vida eterna." — João 3:16

Última edição: Ivo213 (Sex 05 Mai, 2017 20:38). Total de 2 vezes.



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