Olimpíadas ⇒ Olimpíada da Noruega - Álgebra Tópico resolvido
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Abr 2017
20
19:12
Olimpíada da Noruega - Álgebra
Os inteiros positivos a, b e c são tais que 4abc + 2ab + 2bc + 2ca + a + b + c = 1006. Qual é o valor de a + b + c?
Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Qui 20 Abr, 2017 19:12). Total de 1 vez.
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Abr 2017
20
21:57
Re: Olimpíada da Noruega - Álgebra
Acho que a ideia é associar um polinômio ao problema.
Então seja [tex3]x^3+mx^2+px+q[/tex3] tal que suas raízes são a,b,c.
[tex3]-4q+2p-m=1006\\[/tex3]
Deve ter algo aí no meio que não estou ligado ainda. Mas vou tentar amanhã.
Então seja [tex3]x^3+mx^2+px+q[/tex3] tal que suas raízes são a,b,c.
[tex3]-4q+2p-m=1006\\[/tex3]
Deve ter algo aí no meio que não estou ligado ainda. Mas vou tentar amanhã.
Última edição: Andre13000 (Qui 20 Abr, 2017 21:57). Total de 1 vez.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
Abr 2017
21
00:30
Re: Olimpíada da Noruega - Álgebra
Percebendo que;
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) = 4abc+4ab+4ac+4bc+4a+4b+4c+4[/tex3]
Basta ir testando algumas coisas até chegar na expressão do enunciado
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+1)(c+1) - (a+1)(2b+1) - (b+1)(2c+1) = 1007[/tex3]
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+2-1)(c+1) - (a+1)(2b+2-1) - (b+1)(2c+2-1) = 1007[/tex3]
Fazendo;
[tex3]\begin{cases}
a+1=x \\
b+1=y \\
c+1=z
\end{cases}[/tex3]
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+2-1)(c+1) - (a+1)(2b+2-1) - (b+1)(2c+2-1) = 1007[/tex3]
[tex3]4xyz - (2x-1)\cdot z - (2y-1)\cdot x - (2z-1)\cdot y = 1007[/tex3]
[tex3]4xyz - 2xy-2xz-2yz+ x+y+z= 1007[/tex3]
1007 tem poucos divisores, então acredito que o caminho seria conseguir fatorar isso
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) = 4abc+4ab+4ac+4bc+4a+4b+4c+4[/tex3]
Basta ir testando algumas coisas até chegar na expressão do enunciado
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+1)(c+1) - (a+1)(2b+1) - (b+1)(2c+1) = 1007[/tex3]
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+2-1)(c+1) - (a+1)(2b+2-1) - (b+1)(2c+2-1) = 1007[/tex3]
Fazendo;
[tex3]\begin{cases}
a+1=x \\
b+1=y \\
c+1=z
\end{cases}[/tex3]
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+2-1)(c+1) - (a+1)(2b+2-1) - (b+1)(2c+2-1) = 1007[/tex3]
[tex3]4xyz - (2x-1)\cdot z - (2y-1)\cdot x - (2z-1)\cdot y = 1007[/tex3]
[tex3]4xyz - 2xy-2xz-2yz+ x+y+z= 1007[/tex3]
1007 tem poucos divisores, então acredito que o caminho seria conseguir fatorar isso
Última edição: Ittalo25 (Sex 21 Abr, 2017 00:30). Total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Mai 2017
02
10:49
Re: Olimpíada da Noruega - Álgebra
Seja [tex3]f(x) = x^3 + mx^2 + px + q = (x-a)(x-b)(x-c)[/tex3]
[tex3]f(-\frac12) = -\frac18 + \frac14(m-2p+4q) = -\frac18 -\frac{1006}{4} = \frac{-2013}{8}[/tex3]
[tex3](1+2a)(1+2b)(1+2c) = 2013 = 3*11*61[/tex3]
logo [tex3]a=1[/tex3] [tex3]b=5[/tex3] [tex3]c=30[/tex3]
e a soma é [tex3]36[/tex3]
[tex3]f(-\frac12) = -\frac18 + \frac14(m-2p+4q) = -\frac18 -\frac{1006}{4} = \frac{-2013}{8}[/tex3]
[tex3](1+2a)(1+2b)(1+2c) = 2013 = 3*11*61[/tex3]
logo [tex3]a=1[/tex3] [tex3]b=5[/tex3] [tex3]c=30[/tex3]
e a soma é [tex3]36[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Ter 02 Mai, 2017 10:49). Total de 3 vezes.
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