OlimpíadasOlimpíada da Noruega - Álgebra Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Abr 2017 20 19:12

Olimpíada da Noruega - Álgebra

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) » Qui 20 Abr, 2017 19:12

Os inteiros positivos a, b e c são tais que 4abc + 2ab + 2bc + 2ca + a + b + c = 1006. Qual é o valor de a + b + c?

Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Qui 20 Abr, 2017 19:12). Total de 1 vez.



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Andre13000
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Abr 2017 20 21:57

Re: Olimpíada da Noruega - Álgebra

Mensagem não lida por Andre13000 » Qui 20 Abr, 2017 21:57

Acho que a ideia é associar um polinômio ao problema.

Então seja [tex3]x^3+mx^2+px+q[/tex3] tal que suas raízes são a,b,c.

[tex3]-4q+2p-m=1006\\[/tex3]

Deve ter algo aí no meio que não estou ligado ainda. Mas vou tentar amanhã.

Última edição: Andre13000 (Qui 20 Abr, 2017 21:57). Total de 1 vez.


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Abr 2017 21 00:30

Re: Olimpíada da Noruega - Álgebra

Mensagem não lida por Ittalo25 » Sex 21 Abr, 2017 00:30

Percebendo que;

[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) = 4abc+4ab+4ac+4bc+4a+4b+4c+4[/tex3]

Basta ir testando algumas coisas até chegar na expressão do enunciado

[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+1)(c+1) - (a+1)(2b+1) - (b+1)(2c+1) = 1007[/tex3]

[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+2-1)(c+1) - (a+1)(2b+2-1) - (b+1)(2c+2-1) = 1007[/tex3]

Fazendo;

[tex3]\begin{cases}
a+1=x \\
b+1=y \\
c+1=z
\end{cases}[/tex3]

[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+2-1)(c+1) - (a+1)(2b+2-1) - (b+1)(2c+2-1) = 1007[/tex3]

[tex3]4xyz - (2x-1)\cdot z - (2y-1)\cdot x - (2z-1)\cdot y = 1007[/tex3]

[tex3]4xyz - 2xy-2xz-2yz+ x+y+z= 1007[/tex3]

1007 tem poucos divisores, então acredito que o caminho seria conseguir fatorar isso
Última edição: Ittalo25 (Sex 21 Abr, 2017 00:30). Total de 1 vez.


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Mai 2017 02 10:49

Re: Olimpíada da Noruega - Álgebra

Mensagem não lida por sousóeu » Ter 02 Mai, 2017 10:49

Seja [tex3]f(x) = x^3 + mx^2 + px + q = (x-a)(x-b)(x-c)[/tex3]
[tex3]f(-\frac12) = -\frac18 + \frac14(m-2p+4q) = -\frac18 -\frac{1006}{4} = \frac{-2013}{8}[/tex3]
[tex3](1+2a)(1+2b)(1+2c) = 2013 = 3*11*61[/tex3]
logo [tex3]a=1[/tex3] [tex3]b=5[/tex3] [tex3]c=30[/tex3]
e a soma é [tex3]36[/tex3]

Última edição: sousóeu (Ter 02 Mai, 2017 10:49). Total de 3 vezes.



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