Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ Olimpíada da Noruega - Álgebra Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
- Última visita: 31-12-69
Abr 2017
20
19:12
Olimpíada da Noruega - Álgebra
Os inteiros positivos a, b e c são tais que 4abc + 2ab + 2bc + 2ca + a + b + c = 1006. Qual é o valor de a + b + c?
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17906) em 20 Abr 2017, 19:12, em um total de 1 vez.
-
- Mensagens: 847
- Registrado em: 18 Mar 2017, 17:30
- Última visita: 02-03-22
- Agradeceu: 150 vezes
- Agradeceram: 562 vezes
Abr 2017
20
21:57
Re: Olimpíada da Noruega - Álgebra
Acho que a ideia é associar um polinômio ao problema.
Então seja [tex3]x^3+mx^2+px+q[/tex3] tal que suas raízes são a,b,c.
[tex3]-4q+2p-m=1006\\[/tex3]
Deve ter algo aí no meio que não estou ligado ainda. Mas vou tentar amanhã.
Então seja [tex3]x^3+mx^2+px+q[/tex3] tal que suas raízes são a,b,c.
[tex3]-4q+2p-m=1006\\[/tex3]
Deve ter algo aí no meio que não estou ligado ainda. Mas vou tentar amanhã.
Editado pela última vez por Andre13000 em 20 Abr 2017, 21:57, em um total de 1 vez.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
-
- Mensagens: 2349
- Registrado em: 18 Nov 2013, 22:11
- Última visita: 27-03-24
- Agradeceu: 299 vezes
- Agradeceram: 1401 vezes
Abr 2017
21
00:30
Re: Olimpíada da Noruega - Álgebra
Percebendo que;
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) = 4abc+4ab+4ac+4bc+4a+4b+4c+4[/tex3]
Basta ir testando algumas coisas até chegar na expressão do enunciado
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+1)(c+1) - (a+1)(2b+1) - (b+1)(2c+1) = 1007[/tex3]
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+2-1)(c+1) - (a+1)(2b+2-1) - (b+1)(2c+2-1) = 1007[/tex3]
Fazendo;
[tex3]\begin{cases}
a+1=x \\
b+1=y \\
c+1=z
\end{cases}[/tex3]
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+2-1)(c+1) - (a+1)(2b+2-1) - (b+1)(2c+2-1) = 1007[/tex3]
[tex3]4xyz - (2x-1)\cdot z - (2y-1)\cdot x - (2z-1)\cdot y = 1007[/tex3]
[tex3]4xyz - 2xy-2xz-2yz+ x+y+z= 1007[/tex3]
1007 tem poucos divisores, então acredito que o caminho seria conseguir fatorar isso
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) = 4abc+4ab+4ac+4bc+4a+4b+4c+4[/tex3]
Basta ir testando algumas coisas até chegar na expressão do enunciado
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+1)(c+1) - (a+1)(2b+1) - (b+1)(2c+1) = 1007[/tex3]
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+2-1)(c+1) - (a+1)(2b+2-1) - (b+1)(2c+2-1) = 1007[/tex3]
Fazendo;
[tex3]\begin{cases}
a+1=x \\
b+1=y \\
c+1=z
\end{cases}[/tex3]
[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+2-1)(c+1) - (a+1)(2b+2-1) - (b+1)(2c+2-1) = 1007[/tex3]
[tex3]4xyz - (2x-1)\cdot z - (2y-1)\cdot x - (2z-1)\cdot y = 1007[/tex3]
[tex3]4xyz - 2xy-2xz-2yz+ x+y+z= 1007[/tex3]
1007 tem poucos divisores, então acredito que o caminho seria conseguir fatorar isso
Editado pela última vez por Ittalo25 em 21 Abr 2017, 00:30, em um total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
-
- Última visita: 31-12-69
Mai 2017
02
10:49
Re: Olimpíada da Noruega - Álgebra
Seja [tex3]f(x) = x^3 + mx^2 + px + q = (x-a)(x-b)(x-c)[/tex3]
[tex3]f(-\frac12) = -\frac18 + \frac14(m-2p+4q) = -\frac18 -\frac{1006}{4} = \frac{-2013}{8}[/tex3]
[tex3](1+2a)(1+2b)(1+2c) = 2013 = 3*11*61[/tex3]
logo [tex3]a=1[/tex3] [tex3]b=5[/tex3] [tex3]c=30[/tex3]
e a soma é [tex3]36[/tex3]
[tex3]f(-\frac12) = -\frac18 + \frac14(m-2p+4q) = -\frac18 -\frac{1006}{4} = \frac{-2013}{8}[/tex3]
[tex3](1+2a)(1+2b)(1+2c) = 2013 = 3*11*61[/tex3]
logo [tex3]a=1[/tex3] [tex3]b=5[/tex3] [tex3]c=30[/tex3]
e a soma é [tex3]36[/tex3]
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 02 Mai 2017, 10:49, em um total de 3 vezes.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 1 Respostas
- 1241 Exibições
-
Última mensagem por jomatlove
-
-
Nova mensagem Olimpíada da Noruega - 2012 - Geometria Plana
por Auto Excluído (ID:17906) » » em Olimpíadas - 3 Respostas
- 1644 Exibições
-
Última mensagem por csmarcelo
-
-
-
Nova mensagem Olimpíada da Noruega - 1993 - Aritmética
por Auto Excluído (ID:17906) » » em Olimpíadas - 1 Respostas
- 1245 Exibições
-
Última mensagem por Ivo213
-
-
- 1 Respostas
- 1212 Exibições
-
Última mensagem por AugustoCRF
-
- 2 Respostas
- 1507 Exibições
-
Última mensagem por Ittalo25