OlimpíadasOlimpíada do Peru - 2016 - Álgebra Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:17906)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Abr 2017 19 18:19

Olimpíada do Peru - 2016 - Álgebra

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) »

Sejam x y z números reais tais que
[tex3]x^{2}[/tex3] + 5xz + [tex3]z^{2}[/tex3] = 7,
[tex3]x^{2}[/tex3] z + [tex3]z^{2}[/tex3] x = 2.
Se x + z [tex3]\neq[/tex3] 2, determine o valor de [tex3](6xz)^{2}[/tex3] .

Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Qua 19 Abr, 2017 18:19). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
jomatlove
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1051
Registrado em: Qui 05 Jun, 2014 19:38
Última visita: 16-08-21
Localização: Arapiraca-AL
Abr 2017 19 19:27

Re: Olimpíada do Peru - 2016 - Álgebra

Mensagem não lida por jomatlove »

Resolução:
[tex3]x^{2}z+z^{2}x=2\rightarrow xz(x+z)=2[/tex3]
[tex3]x^{2}+5xz+z^{2}=7\rightarrow (x^{2}+2xz+z^{2})+3xz=7[/tex3]
[tex3](x+z)^{2}=7-3xz[/tex3]
[tex3](xz)^{2}[/tex3][tex3](x+z)^{2}[/tex3] =([tex3]7-3xz[/tex3] )[tex3](xz)^{2}[/tex3]
[tex3][(xz)(x+z)]^{2}=7(xz)^{2}-3(xz)^{3}[/tex3]
[tex3]2^{2}=7(xz)^{2}-3(xz)^{3}[/tex3]
[tex3]3(xz)^{3}-7(xz)^{2}+4=0[/tex3]
Como [tex3]3-7+4=0[/tex3] ,então 1 é raiz.Assim obtemos as seguintes raízes:[tex3]xz=1\vee xz=2\vee xz=-\frac{1}{3}[/tex3]
Portanto temos três soluções:
1)[tex3](6xz)^{2}=(6.1)^{2}=36[/tex3]
2)[tex3](6xz)^{2}=(6.2)^{2}=12^{2}=144[/tex3]
3)[tex3](6xz)^{2}=[6(-\frac{1}{3})]^{2}=(-2)^{2}=4[/tex3]

:D:D

Última edição: jomatlove (Qua 19 Abr, 2017 19:27). Total de 1 vez.


Imagination is more important than
knowledge(Albert Einstein)

Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:17906)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Abr 2017 19 19:29

Re: Olimpíada do Peru - 2016 - Álgebra

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) »

Muito Obrigado jomatlove

Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Qua 19 Abr, 2017 19:30). Total de 1 vez.



Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (Peru) Polinômios
    por Deleted User 23699 » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    720 Exibições
    Última msg por Ittalo25
  • Nova mensagem (Peru) Polinômios
    por Deleted User 23699 » » em Olimpíadas
    4 Respostas
    995 Exibições
    Última msg por snooplammer
  • Nova mensagem (Peru) Trigonometria
    por Deleted User 23699 » » em Olimpíadas
    2 Respostas
    875 Exibições
    Última msg por Carlosft57
  • Nova mensagem (Peru) Trigonometria
    por Deleted User 23699 » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    826 Exibições
    Última msg por παθμ
  • Nova mensagem (Peru) Trigonometria
    por Deleted User 23699 » » em Olimpíadas
    0 Respostas
    528 Exibições
    Última msg por Deleted User 23699

Voltar para “Olimpíadas”