Olimpíadas

rean · Mensagem não lida por **rean** » Qua 11 Jun, 2008 09:25

Determine todos os inteiros positivos de quatro algarismos que somados com a soma de seus algarismos resulte [tex3]2603.[/tex3]

Mensagem não lidapor **Kiyoshi** » Sex 20 Jun, 2008 02:30

[tex3]2584+2+5+8+4 = 2603[/tex3]

[tex3]a+b+c+d \leq36 \Rightarrow abcd \geq 2603-36=2567[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+c+d \leq36 \Rightarrow abcd \geq 2603-36=2567[/tex3]

[tex3]abcd - d = 100a+100b+10c =10k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]abcd - d = 100a+100b+10c =10k[/tex3]

Então, [tex3]abcd-d[/tex3] pode ser :

[tex3]2600\\
2590\\
2580\\
2570\\
2560[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2600\\ 2590\\ 2580\\ 2570\\ 2560[/tex3]

pois [tex3]2567-2560 \lt 10[/tex3]

[tex3]a+b+c[/tex3] deve ser um número ímpar, caso contrário [tex3]d[/tex3] não seria inteiro.

Então restam os casos para [tex3]2580[/tex3] e [tex3]2560[/tex3]

Só que [tex3]2603=2560+13+2d[/tex3] resultaria em [tex3]d[/tex3] sendo um número de [tex3]2[/tex3] algarismos.

Então [tex3]2603=2580+15+2d \Rightarrow 2d=8 \Rightarrow d=4[/tex3]

[tex3]2584.[/tex3]

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