Olimpíadas ⇒ Olimpíada da Noruega - 2012 - Geometria Plana Tópico resolvido

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Dado um triângulo equilátero de lado 2, calcule a área hachurada abaixo.

[csmarcelo]

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Por Pitágoras,

[tex3]AC^2=AD^2+CD^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AC^2=AD^2+CD^2[/tex3]

[tex3]2^2=1^2+CD^2\rightarrow CD=\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]2^2=1^2+CD^2\rightarrow CD=\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]EF=CE=\frac{CD}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]EF=CE=\frac{CD}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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Por potência de ponto,

[tex3]AD^2=AF\cdot AC[/tex3]

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[tex3]AD^2=AF\cdot AC[/tex3]

[tex3]1=2AF\rightarrow AF=\frac{1}{2}\rightarrow FC=\frac{3}{2}[/tex3]

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[tex3]1=2AF\rightarrow AF=\frac{1}{2}\rightarrow FC=\frac{3}{2}[/tex3]

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Agora podemos calcular a área do segmento circular [tex3]CGF[/tex3]

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[tex3]CGF[/tex3]

[tex3]S_{CGF}=S_{ECGF}-S_{ECF}[/tex3]

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[tex3]S_{CGF}=S_{ECGF}-S_{ECF}[/tex3]

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[tex3]S_{ECGF}=\pi r^2\cdot\frac{\alpha}{2\pi}[/tex3]

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[tex3]S_{ECGF}=\pi r^2\cdot\frac{\alpha}{2\pi}[/tex3]

Pela Lei dos Cossenos,

[tex3]\left(\frac{3}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\cos\alpha\rightarrow\alpha=\frac{2\pi}{3}[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{3}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\cos\alpha\rightarrow\alpha=\frac{2\pi}{3}[/tex3]

Daí,

[tex3]S_{ECGF}=\pi r^2\cdot\frac{\frac{2\pi}{3}}{2\pi}=\frac{\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{3}=\frac{\pi}{4}[/tex3]

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[tex3]S_{ECGF}=\pi r^2\cdot\frac{\frac{2\pi}{3}}{2\pi}=\frac{\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{3}=\frac{\pi}{4}[/tex3]

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[tex3]S_{ECF}=\sqrt{\left(\frac{2\sqrt{3}+3}{4}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}+3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}+3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}+3}{4}-\frac{3}{2}\right)}=\frac{3\sqrt{3}}{16}[/tex3]

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[tex3]S_{ECF}=\sqrt{\left(\frac{2\sqrt{3}+3}{4}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}+3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}+3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}+3}{4}-\frac{3}{2}\right)}=\frac{3\sqrt{3}}{16}[/tex3]

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Logo,

[tex3]S_{CGF}=\frac{\pi}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{16}=\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{16}[/tex3]

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[tex3]S_{CGF}=\frac{\pi}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{16}=\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{16}[/tex3]

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Área do triângulo equilátero: [tex3]\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}[/tex3]

Área do círculo: [tex3]\pi r^2=\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3\pi}{4}[/tex3]

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[tex3]\pi r^2=\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3\pi}{4}[/tex3]

Área do círculo, desconsiderando os dois segmentos circulares: [tex3]\frac{3\pi}{4}-2\cdot\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{16}=\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{8}[/tex3]

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[tex3]\frac{3\pi}{4}-2\cdot\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{16}=\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{8}[/tex3]

Área da região hachurada: [tex3]\sqrt{3}-\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{8}=\frac{5\sqrt{3}-2\pi}{8}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}-\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{8}=\frac{5\sqrt{3}-2\pi}{8}[/tex3]

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Muito Obrigado csmarcelo!

[csmarcelo]

Anexei a imagem, que tinha esquecido.