Quantos números inteiros positivos menores que 30 têm exatamente quatro divisores positivos?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Olimpíadas ⇒ OBM Divisibilidade Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2017
01
22:42
Re: OBM Divisibilidade
Olá GuiBernardo.Observe a solução:
[tex3]2=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]3=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]4=2^2=3 \ divisores[/tex3]
[tex3]5=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]\boxed{6=2.3=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]7=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]\boxed{8=2^3=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]9=3^2=3 \ divisores[/tex3]
[tex3]\boxed{10=2.5=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]11=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]12=2^2.3=6 \ divisores[/tex3]
[tex3]13=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]\boxed{14=2.7=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]\boxed{15=3.5=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]16=2^4=5 \ divisores[/tex3]
[tex3]17=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]18=2.3^2=6 \ divisores[/tex3]
[tex3]19=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]20=2^2.5=6 \ divisores[/tex3]
[tex3]\boxed{21=3.7=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]\boxed{22=2.11=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]23=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]24=2^3.3=8 \ divisores[/tex3]
[tex3]25=5^2=3 \ divisores[/tex3]
[tex3]\boxed{26=2.13=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]\boxed{27=3^3=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]28=2^2.7=6 \ divisores[/tex3]
[tex3]29=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]\cancel{30=2.3.5=8 \ divisores}[/tex3]
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Quantos números inteiros positivos menores que [tex3]30[/tex3] têm exatamente quatro divisores positivos? [tex3]\boxed{\boxed{9}} \,\, \Longrightarrow \,Letra:(D)[/tex3]
Resposta: [tex3]D[/tex3] .
[tex3]2=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]3=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]4=2^2=3 \ divisores[/tex3]
[tex3]5=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]\boxed{6=2.3=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]7=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]\boxed{8=2^3=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]9=3^2=3 \ divisores[/tex3]
[tex3]\boxed{10=2.5=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]11=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]12=2^2.3=6 \ divisores[/tex3]
[tex3]13=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]\boxed{14=2.7=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]\boxed{15=3.5=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]16=2^4=5 \ divisores[/tex3]
[tex3]17=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]18=2.3^2=6 \ divisores[/tex3]
[tex3]19=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]20=2^2.5=6 \ divisores[/tex3]
[tex3]\boxed{21=3.7=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]\boxed{22=2.11=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]23=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]24=2^3.3=8 \ divisores[/tex3]
[tex3]25=5^2=3 \ divisores[/tex3]
[tex3]\boxed{26=2.13=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]\boxed{27=3^3=4 \ divisores}[/tex3]
[tex3]28=2^2.7=6 \ divisores[/tex3]
[tex3]29=2 \ divisores[/tex3]
[tex3]\cancel{30=2.3.5=8 \ divisores}[/tex3]
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Quantos números inteiros positivos menores que [tex3]30[/tex3] têm exatamente quatro divisores positivos? [tex3]\boxed{\boxed{9}} \,\, \Longrightarrow \,Letra:(D)[/tex3]
Resposta: [tex3]D[/tex3] .
Última edição: Marcos (Sáb 01 Abr, 2017 22:42). Total de 1 vez.
''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''
-
Auto Excluído (ID:17906)
- Última visita: 31-12-69
Abr 2017
02
12:32
Re: OBM Divisibilidade
Resposta correta, mas fazer isso em uma prova seria complicado, principalmente se tivéssemos um número grande.
Se [tex3]q={a_1}^{m_1}\cdot{a_2}^{m_2}...{a_n}^{m_n}[/tex3] , onde [tex3]a_k[/tex3] é um número primo, então ele possui [tex3](m_1+1)\cdot(m_2+1)...(m_n+1)[/tex3] divisores.
Sabendo que [tex3]m_k[/tex3] é um número natural maior que zero e que [tex3](m_1+1)\cdot(m_2+1)...(m_n+1)=4[/tex3] , podemos ter as seguintes situações:
[tex3]m_1=3\ (I)[/tex3]
[tex3]m_1=1,m_2=1,\ a_1\neq a_2\ (II)[/tex3]
Na situação [tex3](I)[/tex3] :
[tex3]a_1\in\{2,3\}[/tex3]
Na situação [tex3](II)[/tex3] :
[tex3](a_1,a_2)\in\{(2,3)(2,5)(2,7)(2,11)(2,13)(3,5)(3,7)\}[/tex3]
* Basta ir combinando fatores primos diferentes, sempre começando pelos menores possíveis, lembrando que devemos ter [tex3]a_1\neq a_2[/tex3] . Dessa forma, o próximo par seria [tex3](5,7)[/tex3] , resultando [tex3]q=35[/tex3] , que já está fora da condição [tex3]q\leq30[/tex3] .
Se [tex3]q={a_1}^{m_1}\cdot{a_2}^{m_2}...{a_n}^{m_n}[/tex3] , onde [tex3]a_k[/tex3] é um número primo, então ele possui [tex3](m_1+1)\cdot(m_2+1)...(m_n+1)[/tex3] divisores.
Sabendo que [tex3]m_k[/tex3] é um número natural maior que zero e que [tex3](m_1+1)\cdot(m_2+1)...(m_n+1)=4[/tex3] , podemos ter as seguintes situações:
[tex3]m_1=3\ (I)[/tex3]
[tex3]m_1=1,m_2=1,\ a_1\neq a_2\ (II)[/tex3]
Na situação [tex3](I)[/tex3] :
[tex3]a_1\in\{2,3\}[/tex3]
Na situação [tex3](II)[/tex3] :
[tex3](a_1,a_2)\in\{(2,3)(2,5)(2,7)(2,11)(2,13)(3,5)(3,7)\}[/tex3]
* Basta ir combinando fatores primos diferentes, sempre começando pelos menores possíveis, lembrando que devemos ter [tex3]a_1\neq a_2[/tex3] . Dessa forma, o próximo par seria [tex3](5,7)[/tex3] , resultando [tex3]q=35[/tex3] , que já está fora da condição [tex3]q\leq30[/tex3] .
Última edição: csmarcelo (Dom 02 Abr, 2017 12:32). Total de 2 vezes.
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