Olimpíadas

Suponha que [tex3]n>1[/tex3] é inteiro de tal forma que [tex3]4\left[(n-1)!+1\right]\equiv0\mod{(n)}[/tex3] . Prove que [tex3]n=4[/tex3] ou [tex3]n[/tex3] é primo.

Eu não sou bom em teoria dos números. kkkk

Acho que houve algum erro de digitação.

Do jeito que tá escrito temos:

[tex3]4\left[(n-1)+1\right]\equiv0\mod{(n)}[/tex3]
[tex3]4\cdot n \equiv0\mod{(n)}[/tex3]

Isso é verdadeiro para qualquer valor de n diferente de zero.

italo, eu tinha colocado errado foi mal kkkkk

[tex3]4\left[(n-1)!+1\right]\equiv0\mod{(n)}[/tex3]

faltou o fatorial. :/

É consequência direta do Teorema de Wilson.

Veja que pra essa congruência ser válida, podemos quebrá-la em três casos:

1) mdc(n,4)=1
Nesse caso, podemos dividir ambos os lados da congruência por 4, restando
[tex3](n-1)!+1 \equiv 0 \rightarrow (n-1)! \equiv -1 \ (mod \ n)[/tex3]
Que, pelo teorema de Wilson, só possui solução pra n primo.

2) Supondo mdc(n,4)=2
Isso só ocorre pra n=2, e claramente a congruência é satisfeita. De fato, 2 é primo.

3) Supondo mdc(n,4)=4
Agora não podemos dividir os dois lados por 4 sem perder soluções.
[tex3]4(n-1)!+4 \equiv 0 \ (mod \ n)[/tex3]
De fato, 4 é solução imediata. Agora precisamos provar que não existem outras soluções do tipo 4k, então suponha n=4k, k>1.
[tex3]4(4k-1)!+4 \equiv 0[/tex3]
Veja que [tex3]4k-1>2k \rightarrow 2k > 1[/tex3] , e isso é suficiente pra provar que 4k divide 4k-1 fatorial, pois então ao expandir o fatorial, teremos no início um fator 2, e em algum momento iremos passar pelo fator 2k, e o produto resulta em 4k. Isso só dá problema pra k=1, pois o fator 2 é igual ao fator 2k, e acaba não ocorrendo a divisibilidade, mas em todos os outros casos, dá tudo certo.
[tex3]4(4k-1)!+4 \equiv 4 \ (mod \ 4k)[/tex3]
Então precisamos ter [tex3]4 \equiv 0 \ (mod \ 4k)[/tex3] . Ora, mas claramente não há solução para k>1, como haviamos imposto. Assim, a única solução é para k=1, que é quando n=4, e para n primo.

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