Olimpíadas ⇒ Conjuntos Numéricos: Representação Decimal Tópico resolvido

[rean]

A representação decimal dos números [tex3]2^{1999}[/tex3]

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[tex3]2^{1999}[/tex3]

e [tex3]5^{1999}[/tex3]

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[tex3]5^{1999}[/tex3]

são escritas lado a lado. O número de algarismos escritos é igual a:

a) 1999
b) 2000
c) 2001
d) 3998
e) 3999

[Thadeu]

Pensei nessa solução:
Lembrando que [tex3]log\,2=0,3\,\,\,e\,\,\,log\,5=0,7[/tex3]

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[tex3]log\,2=0,3\,\,\,e\,\,\,log\,5=0,7[/tex3]

, aproximadamente, temos:

[tex3]2^{1999}=x\,\Rightarrow\,log\,2^{1999}=log\,x\,\Rightarrow\,1999\,log\,2=log\,x\,\Rightarrow\,1999(0,3)=log\,x\\\Rightarrow\,599,7=log\,x\,\Rightarrow\,10^{599,7}=x\,\Rightarrow\,x\,\approx\,10^{600}[/tex3]

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[tex3]2^{1999}=x\,\Rightarrow\,log\,2^{1999}=log\,x\,\Rightarrow\,1999\,log\,2=log\,x\,\Rightarrow\,1999(0,3)=log\,x\\\Rightarrow\,599,7=log\,x\,\Rightarrow\,10^{599,7}=x\,\Rightarrow\,x\,\approx\,10^{600}[/tex3]

[tex3]5^{1999}=y\,\Rightarrow\,log\,5^{1999}=log\,y\,\Rightarrow\,1999\,log\,5=log\,y\,\Rightarrow\,1999(0,7)=log\,y\\\Rightarrow\,1399,3=log\,y\,\Rightarrow\,10^{1399,3}=x\,\Rightarrow\,y\,\approx\,10^{1399}[/tex3]

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[tex3]5^{1999}=y\,\Rightarrow\,log\,5^{1999}=log\,y\,\Rightarrow\,1999\,log\,5=log\,y\,\Rightarrow\,1999(0,7)=log\,y\\\Rightarrow\,1399,3=log\,y\,\Rightarrow\,10^{1399,3}=x\,\Rightarrow\,y\,\approx\,10^{1399}[/tex3]

Na potência de base 10 o exponte indica o número de zeros que estão atrás do algarismo 1; nesse caso, a potência [tex3]2^{1999}=10^{600}[/tex3]

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[tex3]2^{1999}=10^{600}[/tex3]

possui 601 algarismos (um algarismo 1 acompanhado de seiscentos zeros); e a potência [tex3]5^{1999}=10^{1399}[/tex3]

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[tex3]5^{1999}=10^{1399}[/tex3]

possui 1400 algarismos (um algarismo 1 acompanhado de 1399 zeros).

Logo, a quantidade de algarismos total é 601 + 1400 = 2001 algarismos.

Resp c

Caso esteja errada, me falem por favor.
Um abraço!

[triplebig]

Thadeu, sua solução está certinha, mas tem um leve erro, pelo que eu vi. O número [tex3]10^{599,7}[/tex3]

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[tex3]10^{599,7}[/tex3]

é bem próximo de [tex3]10^{600}[/tex3]

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[tex3]10^{600}[/tex3]

, mas ele é um pouquinho menor, ou seja, não chega a ter [tex3]600[/tex3]

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[tex3]600[/tex3]

algarismos, mas sim, [tex3]599[/tex3]

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[tex3]599[/tex3]

. Assim a resposta ficaria a letra b) .

Abraços