[tex3]\mathbb{R}_{+}[/tex3]
Olimpíadas ⇒ (Alemanha) Imagem da função Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2017
17
19:31
(Alemanha) Imagem da função
Qual é o conjunto imagem da função f real definida em [tex3]\mathbb{R}_{+}[/tex3]
[tex3]\mathbb{R}_{+}[/tex3]
, tal que [tex3]f(x)=\sqrt{(2-\sqrt{3}^{x})}+\sqrt{(2+\sqrt{3}^{x})}-2[/tex3]
Resposta
[tex3]\mathbb{R}_{+}[/tex3]
Última edição: Gu178 (Sex 17 Mar, 2017 19:31). Total de 2 vezes.
-
- Mensagens: 1483
- Registrado em: Dom 02 Ago, 2015 13:51
- Última visita: 30-09-22
Mar 2017
17
20:33
Re: (Alemanha) Imagem da função
[tex3]2-\sqrt{3}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}[/tex3]
[tex3]f(x)=(\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2})^x+(\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2})^x-2[/tex3]
Agora a visão é um pouco mais difícil, mas veja que [tex3]\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=1[/tex3] , então [tex3](\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}*(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}=1[/tex3] e, portanto [tex3]2(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}*(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}=2[/tex3]
Então novamente aparece um quadrado perfeito na expressão.
[tex3]f(x)=(\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2})^x+(\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2})^x-2(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}*(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}=((\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^\frac{x}{2}-(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^\frac{x}{2})^2[/tex3]
Então f(x) é um quadrado perfeito e portanto é estritamente positiva. O zero não entra no conjunto imagem porque o termo que está sendo elevado ao quadrado nunca é zero, visto que é a soma de funções exponenciais.
[tex3]f(x)=(\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2})^x+(\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2})^x-2[/tex3]
Agora a visão é um pouco mais difícil, mas veja que [tex3]\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=1[/tex3] , então [tex3](\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}*(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}=1[/tex3] e, portanto [tex3]2(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}*(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}=2[/tex3]
Então novamente aparece um quadrado perfeito na expressão.
[tex3]f(x)=(\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2})^x+(\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2})^x-2(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}*(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}=((\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^\frac{x}{2}-(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^\frac{x}{2})^2[/tex3]
Então f(x) é um quadrado perfeito e portanto é estritamente positiva. O zero não entra no conjunto imagem porque o termo que está sendo elevado ao quadrado nunca é zero, visto que é a soma de funções exponenciais.
Última edição: undefinied3 (Sex 17 Mar, 2017 20:33). Total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
Mar 2017
18
10:13
Re: (Alemanha) Imagem da função
undefinied, não entendi a questão. Se x = 0 teremos [tex3]\sqrt{1}+ \sqrt{1}-2=0[/tex3]
portanto a função está definida em 0 e a resposta do enunciado o 0 está incluso. Poderia esclarecer?
Última edição: petras (Sáb 18 Mar, 2017 10:13). Total de 1 vez.
-
- Mensagens: 1483
- Registrado em: Dom 02 Ago, 2015 13:51
- Última visita: 30-09-22
Mar 2017
18
13:07
Re: (Alemanha) Imagem da função
A função é definida em R+ pelo enunciado, então a resolução continua valendo. Eu que me equivoquei e fiquei na cabeça que ali dentro do quadrado final, era uma soma e não uma diferença. De fato, se permitir x=0, podemos ter uma imagem com zero.
Última edição: undefinied3 (Sáb 18 Mar, 2017 13:08). Total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
-
- Mensagens: 2135
- Registrado em: Qui 19 Out, 2006 15:03
- Última visita: 27-03-24
- Localização: Rio de Janeiro
- Contato:
Mar 2017
18
23:13
Re: (Alemanha) Imagem da função
Olá undefinied3,
A função do enunciado está definida em [tex3]\mathbb{R}_{+}[/tex3] , que significa todos reais não negativos.
Ou seja, o ZERO está definido no domínio da função e, com a sua resolução, também estará no conjunto imagem.
Grande abraço,
Prof. Caju
A função do enunciado está definida em [tex3]\mathbb{R}_{+}[/tex3] , que significa todos reais não negativos.
Ou seja, o ZERO está definido no domínio da função e, com a sua resolução, também estará no conjunto imagem.
Grande abraço,
Prof. Caju
Última edição: caju (Sáb 18 Mar, 2017 23:13). Total de 1 vez.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
-
- Mensagens: 1483
- Registrado em: Dom 02 Ago, 2015 13:51
- Última visita: 30-09-22
Mar 2017
19
07:27
Re: (Alemanha) Imagem da função
Mais uma vez, total falta de atenção minha. Obrigado pela correção, professor.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 7144 Exibições
-
Última msg por AnthonyC
-
- 2 Respostas
- 8646 Exibições
-
Última msg por inguz
-
- 1 Respostas
- 238 Exibições
-
Última msg por petras
-
- 2 Respostas
- 1010 Exibições
-
Última msg por simonecig
-
- 0 Respostas
- 356 Exibições
-
Última msg por IsaacFritsch