Seja [tex3]\triangle ABC[/tex3]
Os pontos [tex3]E[/tex3]
sobre [tex3]r[/tex3]
e [tex3]D[/tex3]
sobre [tex3]s[/tex3]
são tais que [tex3]AD \parallel BE[/tex3]
e [tex3]AE \parallel CD[/tex3]
. As retas [tex3]BD[/tex3]
e [tex3]CE[/tex3]
se cortam
em [tex3]F[/tex3]
. Seja [tex3]I[/tex3]
o incentro do triangulo [tex3]ABC[/tex3]
. Mostre que se os pontos [tex3]A, F[/tex3]
e [tex3]I[/tex3]
são colineares então [tex3]AB = AC[/tex3]
.
um triangulo. As retas [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
são as bissetrizes internas de [tex3]\angle ABC[/tex3]
e [tex3]\angle BCA[/tex3]
,respectivamente. Olimpíadas ⇒ OBM (2016)
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2017
10
14:40
Re: OBM (2016)
Seja o ponto [tex3]K[/tex3]
Pelo teorema de Tales, usando as paralelas [tex3]\overline{AE}[/tex3] e [tex3]\overline{CD}[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{CF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{FI}}{\overline{AI}}[/tex3] (i)
Agora aplicando o teorema de Tales nas paralelas [tex3]\overline{AD}[/tex3] e [tex3]\overline{BE}[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{BF}}{\overline{BD}}=\frac{\overline{FI}}{\overline{AI}}[/tex3] (ii)
Substituindo a equação (i) em (ii), encontramos que [tex3]\frac{\overline{CF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{BF}}{\overline{BD}}[/tex3] , como [tex3]\overline{BF}=\overline{BD}+\overline{DF}[/tex3] e [tex3]\overline{CF}=\overline{CE}+\overline{EF}[/tex3] , logo [tex3]\frac{\overline{CE}+\overline{EF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{BD}+\overline{DF}}{\overline{BD}}\Rightarrow1+\frac{\overline{EF}}{\overline{CE}}=1+\frac{\overline{DF}}{\overline{BD}}\Rightarrow\frac{\overline{EF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{DF}}{\overline{BD}}[/tex3]
Então [tex3]\overline{DE}||\overline{BC}[/tex3] , logo o ponto [tex3]R[/tex3] é o ponto médio de [tex3]\overline{BC}[/tex3]
Como o ponto [tex3]I[/tex3] é o Incentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] , logo o segmento [tex3]\overline{FR}[/tex3] é a bissetriz do ângulo [tex3]\angle CAB[/tex3] , logo os ângulos [tex3]\angle RAB=\angle CAR[/tex3]
Pelo teorema da bissetriz interna no [tex3]\triangle ABC[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{AB}}{\overline{BR}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CR}}[/tex3] , mas como [tex3]\overline{BR}=\overline{CR}[/tex3] , então [tex3]\overline{AB}=\overline{AC}[/tex3]
a intersecção de [tex3]\overline{AI}[/tex3]
com [tex3]\overline{DE}[/tex3]
e o ponto [tex3]R[/tex3]
a intersecção do prolongamento de [tex3]\overline{FI}[/tex3]
com [tex3]\overline{BC}[/tex3]
, como mostra a figura:
Como [tex3]\overline{AE}||\overline{CD}[/tex3]
e [tex3]\overline{AD}||\overline{BE}[/tex3]
, temos que [tex3]ADIE[/tex3]
é um paralelogramo, e como [tex3]\overline{AI}[/tex3]
e [tex3]\overline{DE}[/tex3]
são suas diagonais, logo [tex3]\overline{DK}=\overline{EK}[/tex3]
Pelo teorema de Tales, usando as paralelas [tex3]\overline{AE}[/tex3] e [tex3]\overline{CD}[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{CF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{FI}}{\overline{AI}}[/tex3] (i)
Agora aplicando o teorema de Tales nas paralelas [tex3]\overline{AD}[/tex3] e [tex3]\overline{BE}[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{BF}}{\overline{BD}}=\frac{\overline{FI}}{\overline{AI}}[/tex3] (ii)
Substituindo a equação (i) em (ii), encontramos que [tex3]\frac{\overline{CF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{BF}}{\overline{BD}}[/tex3] , como [tex3]\overline{BF}=\overline{BD}+\overline{DF}[/tex3] e [tex3]\overline{CF}=\overline{CE}+\overline{EF}[/tex3] , logo [tex3]\frac{\overline{CE}+\overline{EF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{BD}+\overline{DF}}{\overline{BD}}\Rightarrow1+\frac{\overline{EF}}{\overline{CE}}=1+\frac{\overline{DF}}{\overline{BD}}\Rightarrow\frac{\overline{EF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{DF}}{\overline{BD}}[/tex3]
Então [tex3]\overline{DE}||\overline{BC}[/tex3] , logo o ponto [tex3]R[/tex3] é o ponto médio de [tex3]\overline{BC}[/tex3]
Como o ponto [tex3]I[/tex3] é o Incentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] , logo o segmento [tex3]\overline{FR}[/tex3] é a bissetriz do ângulo [tex3]\angle CAB[/tex3] , logo os ângulos [tex3]\angle RAB=\angle CAR[/tex3]
Pelo teorema da bissetriz interna no [tex3]\triangle ABC[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{AB}}{\overline{BR}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CR}}[/tex3] , mas como [tex3]\overline{BR}=\overline{CR}[/tex3] , então [tex3]\overline{AB}=\overline{AC}[/tex3]
Última edição: Lonel (Sáb 10 Jun, 2017 14:40). Total de 1 vez.
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