OlimpíadasOBM (2016)

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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apistogramma
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OBM (2016)

Mensagem não lida por apistogramma »

Seja [tex3]\triangle ABC[/tex3] um triangulo. As retas [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] são as bissetrizes internas de [tex3]\angle ABC[/tex3] e [tex3]\angle BCA[/tex3] ,respectivamente.
Os pontos [tex3]E[/tex3] sobre [tex3]r[/tex3] e [tex3]D[/tex3] sobre [tex3]s[/tex3] são tais que [tex3]AD \parallel BE[/tex3] e [tex3]AE \parallel CD[/tex3] . As retas [tex3]BD[/tex3] e [tex3]CE[/tex3] se cortam
em [tex3]F[/tex3] . Seja [tex3]I[/tex3] o incentro do triangulo [tex3]ABC[/tex3] . Mostre que se os pontos [tex3]A, F[/tex3] e [tex3]I[/tex3] são colineares então [tex3]AB = AC[/tex3] .

Última edição: apistogramma (Qua 15 Mar, 2017 18:50). Total de 1 vez.



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Lonel
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Re: OBM (2016)

Mensagem não lida por Lonel »

Seja o ponto [tex3]K[/tex3] a intersecção de [tex3]\overline{AI}[/tex3] com [tex3]\overline{DE}[/tex3] e o ponto [tex3]R[/tex3] a intersecção do prolongamento de [tex3]\overline{FI}[/tex3] com [tex3]\overline{BC}[/tex3] , como mostra a figura:
BCF.png
BCF.png (21.14 KiB) Exibido 741 vezes
Como [tex3]\overline{AE}||\overline{CD}[/tex3] e [tex3]\overline{AD}||\overline{BE}[/tex3] , temos que [tex3]ADIE[/tex3] é um paralelogramo, e como [tex3]\overline{AI}[/tex3] e [tex3]\overline{DE}[/tex3] são suas diagonais, logo [tex3]\overline{DK}=\overline{EK}[/tex3]
Pelo teorema de Tales, usando as paralelas [tex3]\overline{AE}[/tex3] e [tex3]\overline{CD}[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{CF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{FI}}{\overline{AI}}[/tex3] (i)
Agora aplicando o teorema de Tales nas paralelas [tex3]\overline{AD}[/tex3] e [tex3]\overline{BE}[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{BF}}{\overline{BD}}=\frac{\overline{FI}}{\overline{AI}}[/tex3] (ii)
Substituindo a equação (i) em (ii), encontramos que [tex3]\frac{\overline{CF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{BF}}{\overline{BD}}[/tex3] , como [tex3]\overline{BF}=\overline{BD}+\overline{DF}[/tex3] e [tex3]\overline{CF}=\overline{CE}+\overline{EF}[/tex3] , logo [tex3]\frac{\overline{CE}+\overline{EF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{BD}+\overline{DF}}{\overline{BD}}\Rightarrow1+\frac{\overline{EF}}{\overline{CE}}=1+\frac{\overline{DF}}{\overline{BD}}\Rightarrow\frac{\overline{EF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{DF}}{\overline{BD}}[/tex3]
Então [tex3]\overline{DE}||\overline{BC}[/tex3] , logo o ponto [tex3]R[/tex3] é o ponto médio de [tex3]\overline{BC}[/tex3]
Como o ponto [tex3]I[/tex3] é o Incentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] , logo o segmento [tex3]\overline{FR}[/tex3] é a bissetriz do ângulo [tex3]\angle CAB[/tex3] , logo os ângulos [tex3]\angle RAB=\angle CAR[/tex3]
Pelo teorema da bissetriz interna no [tex3]\triangle ABC[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{AB}}{\overline{BR}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CR}}[/tex3] , mas como [tex3]\overline{BR}=\overline{CR}[/tex3] , então [tex3]\overline{AB}=\overline{AC}[/tex3]

Última edição: Lonel (Sáb 10 Jun, 2017 14:40). Total de 1 vez.



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