Seja [tex3]\triangle ABC[/tex3]
um triangulo. As retas [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
são as bissetrizes internas de [tex3]\angle ABC[/tex3]
e [tex3]\angle BCA[/tex3]
,respectivamente.
Os pontos [tex3]E[/tex3]
sobre [tex3]r[/tex3]
e [tex3]D[/tex3]
sobre [tex3]s[/tex3]
são tais que [tex3]AD \parallel BE[/tex3]
e [tex3]AE \parallel CD[/tex3]
. As retas [tex3]BD[/tex3]
e [tex3]CE[/tex3]
se cortam
em [tex3]F[/tex3]
. Seja [tex3]I[/tex3]
o incentro do triangulo [tex3]ABC[/tex3]
. Mostre que se os pontos [tex3]A, F[/tex3]
e [tex3]I[/tex3]
são colineares então [tex3]AB = AC[/tex3]
.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ OBM (2016)
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
apistogramma
- Mensagens: 1
- Registrado em: 14 Mar 2017, 09:12
- Última visita: 11-06-17
Mar 2017
15
18:50
OBM (2016)
Editado pela última vez por apistogramma em 15 Mar 2017, 18:50, em um total de 1 vez.
-
Lonel
- Mensagens: 107
- Registrado em: 09 Jun 2017, 10:02
- Última visita: 19-02-23
- Agradeceu: 52 vezes
- Agradeceram: 86 vezes
Jun 2017
10
14:40
Re: OBM (2016)
Seja o ponto [tex3]K[/tex3]
a intersecção de [tex3]\overline{AI}[/tex3]
com [tex3]\overline{DE}[/tex3]
e o ponto [tex3]R[/tex3]
a intersecção do prolongamento de [tex3]\overline{FI}[/tex3]
com [tex3]\overline{BC}[/tex3]
, como mostra a figura:
Como [tex3]\overline{AE}||\overline{CD}[/tex3]
e [tex3]\overline{AD}||\overline{BE}[/tex3]
, temos que [tex3]ADIE[/tex3]
é um paralelogramo, e como [tex3]\overline{AI}[/tex3]
e [tex3]\overline{DE}[/tex3]
são suas diagonais, logo [tex3]\overline{DK}=\overline{EK}[/tex3]
Pelo teorema de Tales, usando as paralelas [tex3]\overline{AE}[/tex3] e [tex3]\overline{CD}[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{CF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{FI}}{\overline{AI}}[/tex3] (i)
Agora aplicando o teorema de Tales nas paralelas [tex3]\overline{AD}[/tex3] e [tex3]\overline{BE}[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{BF}}{\overline{BD}}=\frac{\overline{FI}}{\overline{AI}}[/tex3] (ii)
Substituindo a equação (i) em (ii), encontramos que [tex3]\frac{\overline{CF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{BF}}{\overline{BD}}[/tex3] , como [tex3]\overline{BF}=\overline{BD}+\overline{DF}[/tex3] e [tex3]\overline{CF}=\overline{CE}+\overline{EF}[/tex3] , logo [tex3]\frac{\overline{CE}+\overline{EF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{BD}+\overline{DF}}{\overline{BD}}\Rightarrow1+\frac{\overline{EF}}{\overline{CE}}=1+\frac{\overline{DF}}{\overline{BD}}\Rightarrow\frac{\overline{EF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{DF}}{\overline{BD}}[/tex3]
Então [tex3]\overline{DE}||\overline{BC}[/tex3] , logo o ponto [tex3]R[/tex3] é o ponto médio de [tex3]\overline{BC}[/tex3]
Como o ponto [tex3]I[/tex3] é o Incentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] , logo o segmento [tex3]\overline{FR}[/tex3] é a bissetriz do ângulo [tex3]\angle CAB[/tex3] , logo os ângulos [tex3]\angle RAB=\angle CAR[/tex3]
Pelo teorema da bissetriz interna no [tex3]\triangle ABC[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{AB}}{\overline{BR}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CR}}[/tex3] , mas como [tex3]\overline{BR}=\overline{CR}[/tex3] , então [tex3]\overline{AB}=\overline{AC}[/tex3]
- BCF.png (21.14 KiB) Exibido 751 vezes
Pelo teorema de Tales, usando as paralelas [tex3]\overline{AE}[/tex3] e [tex3]\overline{CD}[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{CF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{FI}}{\overline{AI}}[/tex3] (i)
Agora aplicando o teorema de Tales nas paralelas [tex3]\overline{AD}[/tex3] e [tex3]\overline{BE}[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{BF}}{\overline{BD}}=\frac{\overline{FI}}{\overline{AI}}[/tex3] (ii)
Substituindo a equação (i) em (ii), encontramos que [tex3]\frac{\overline{CF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{BF}}{\overline{BD}}[/tex3] , como [tex3]\overline{BF}=\overline{BD}+\overline{DF}[/tex3] e [tex3]\overline{CF}=\overline{CE}+\overline{EF}[/tex3] , logo [tex3]\frac{\overline{CE}+\overline{EF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{BD}+\overline{DF}}{\overline{BD}}\Rightarrow1+\frac{\overline{EF}}{\overline{CE}}=1+\frac{\overline{DF}}{\overline{BD}}\Rightarrow\frac{\overline{EF}}{\overline{CE}}=\frac{\overline{DF}}{\overline{BD}}[/tex3]
Então [tex3]\overline{DE}||\overline{BC}[/tex3] , logo o ponto [tex3]R[/tex3] é o ponto médio de [tex3]\overline{BC}[/tex3]
Como o ponto [tex3]I[/tex3] é o Incentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3] , logo o segmento [tex3]\overline{FR}[/tex3] é a bissetriz do ângulo [tex3]\angle CAB[/tex3] , logo os ângulos [tex3]\angle RAB=\angle CAR[/tex3]
Pelo teorema da bissetriz interna no [tex3]\triangle ABC[/tex3] , temos que [tex3]\frac{\overline{AB}}{\overline{BR}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CR}}[/tex3] , mas como [tex3]\overline{BR}=\overline{CR}[/tex3] , então [tex3]\overline{AB}=\overline{AC}[/tex3]
Editado pela última vez por Lonel em 10 Jun 2017, 14:40, em um total de 1 vez.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 1 Respostas
- 1734 Exibições
-
Última mensagem por undefinied3
-
- 0 Respostas
- 1271 Exibições
-
Última mensagem por pgavp2012
-
- 1 Respostas
- 495 Exibições
-
Última mensagem por παθμ
-
- 2 Respostas
- 1097 Exibições
-
Última mensagem por Ashitaka
