Sejam p um número primo e r o resto da divisão de p por 210. Sabendo que r é um número composto que pode ser escrito como uma soma de dois quadrados perfeitos, a soma dos algarismos de r é igual a:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
R: d
Olimpíadas ⇒ Aritmética
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2017
11
08:18
Aritmética
Última edição: ALDRIN (Qui 16 Mar, 2017 10:00). Total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título
Razão: Arrumar Título
Mar 2017
13
15:40
Re: Gandhi 898 (acho que é de Olimpíada)
Olá boa tarde. Vou postar oq observei do problema.
"Sejam p um número primo e r o resto da divisão de p por 210. sabendo que r é um número composto que pode ser escrito como uma soma de dois quadrados perfeitos, a soma dos algarismos de r é igual a":
Veja que [tex3]p[/tex3] pode ser representado das seguintes formas:
I) Algoritmo de Euclides:
[tex3]p=b\cdot q+r[/tex3] . Como a divisão é por 210 e o resto é composto ([tex3]r=m\cdot n[/tex3] ). Temos:
[tex3]p=210\cdot q+m\cdot n[/tex3] . Foi informado que o resto pode ser escrito como uma soma de dois quadrados perfeitos:
[tex3]p=210\cdot q+(u^{2}+v^{2})[/tex3] .
II) Congruência
[tex3]p≡r(mod210)[/tex3]
[tex3]p≡m\cdot n(mod210)[/tex3] . Se [tex3]m=n[/tex3] :
[tex3]p≡m^{2}(mod210)[/tex3] . Como o resto é soma de um quadrado perfeito, então [tex3]m^{2}=u^{2}+v^{2}[/tex3] (Teorema de Pitágoras). Os restos de [tex3]p[/tex3] por 210 [tex3]\in (1,2,3,4,5...209)[/tex3] . Logo [tex3]m=13\rightarrow m^{2}=169=13\cdot 13[/tex3] . Como [tex3]m^{2}=u^{2}+v^{2}[/tex3] , temos:
[tex3]169=12^{2}+5^{2}[/tex3] . Dessa maneira o resto é soma dos quadrados perfeitos 144 e 25. E teremos:
[tex3]p≡169(mod210)[/tex3] [tex3]\rightarrow p=1009[/tex3] .
Portanto, [tex3]r=1+6+9=16[/tex3] letra (d)
Obs: Não fiz para [tex3]m\neq n[/tex3] .
Espero q alguém conclua o raciocínio ou corrija se cometi algum equívoco.
Att>> rodBR.
"Sejam p um número primo e r o resto da divisão de p por 210. sabendo que r é um número composto que pode ser escrito como uma soma de dois quadrados perfeitos, a soma dos algarismos de r é igual a":
Veja que [tex3]p[/tex3] pode ser representado das seguintes formas:
I) Algoritmo de Euclides:
[tex3]p=b\cdot q+r[/tex3] . Como a divisão é por 210 e o resto é composto ([tex3]r=m\cdot n[/tex3] ). Temos:
[tex3]p=210\cdot q+m\cdot n[/tex3] . Foi informado que o resto pode ser escrito como uma soma de dois quadrados perfeitos:
[tex3]p=210\cdot q+(u^{2}+v^{2})[/tex3] .
II) Congruência
[tex3]p≡r(mod210)[/tex3]
[tex3]p≡m\cdot n(mod210)[/tex3] . Se [tex3]m=n[/tex3] :
[tex3]p≡m^{2}(mod210)[/tex3] . Como o resto é soma de um quadrado perfeito, então [tex3]m^{2}=u^{2}+v^{2}[/tex3] (Teorema de Pitágoras). Os restos de [tex3]p[/tex3] por 210 [tex3]\in (1,2,3,4,5...209)[/tex3] . Logo [tex3]m=13\rightarrow m^{2}=169=13\cdot 13[/tex3] . Como [tex3]m^{2}=u^{2}+v^{2}[/tex3] , temos:
[tex3]169=12^{2}+5^{2}[/tex3] . Dessa maneira o resto é soma dos quadrados perfeitos 144 e 25. E teremos:
[tex3]p≡169(mod210)[/tex3] [tex3]\rightarrow p=1009[/tex3] .
Portanto, [tex3]r=1+6+9=16[/tex3] letra (d)
Obs: Não fiz para [tex3]m\neq n[/tex3] .
Espero q alguém conclua o raciocínio ou corrija se cometi algum equívoco.
Att>> rodBR.
Última edição: rodBR (Seg 13 Mar, 2017 15:40). Total de 3 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
Mar 2017
16
07:01
Re: Aritmética
Perfeito sua colocação, RodBr
No caso quando fiz só testei a hipótese de m [tex3]\neq n[/tex3] .
Pensei q r não pode ter fatores 2, 3, 5, 7; pois senão p não seria primo. e r < 210. Assim só sobrariam as possibilidades 11x13 = 143; 11x17 = 187; 11x19 = 209.
Como r = impar, logo r =[tex3](2k)^{2} + (2q+1)^{2}[/tex3] . Desenvolvendo isso, a conclusão é que o r = 1 (mod 4).
O único q satisfaz isso é 209, que não pode ser escrito como soma de quadrados perfeitos.
Agora, vale lembrar que na sua resolução, deveria ser testado o número 121, q não pode ser escrito como soma de quadrados perfeitos.
No caso quando fiz só testei a hipótese de m [tex3]\neq n[/tex3] .
Pensei q r não pode ter fatores 2, 3, 5, 7; pois senão p não seria primo. e r < 210. Assim só sobrariam as possibilidades 11x13 = 143; 11x17 = 187; 11x19 = 209.
Como r = impar, logo r =[tex3](2k)^{2} + (2q+1)^{2}[/tex3] . Desenvolvendo isso, a conclusão é que o r = 1 (mod 4).
O único q satisfaz isso é 209, que não pode ser escrito como soma de quadrados perfeitos.
Agora, vale lembrar que na sua resolução, deveria ser testado o número 121, q não pode ser escrito como soma de quadrados perfeitos.
Última edição: quevedo (Qui 16 Mar, 2017 07:01). Total de 2 vezes.
Mar 2017
16
10:05
Re: Gandhi 898 (acho que é de Olimpíada)
Olá quevedo, bom dia.
Eu utilizei o fato de que todo numero impar quando dividido por um número par deixa resto impar.
Os possíveis restos do número [tex3]p[/tex3] por 210 [tex3]\in[/tex3] (1, 2, 3, 4, 5..., 209), porém o resto deve ser ímpar, ou seja, [tex3]r[/tex3] [tex3]\in[/tex3] (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 121, 123, 125, 127, 129, 131, 133, 135, 137, 139, 141, 143, 145, 147, 149, 151, 153, 155, 157, 159, 161, 163, 165, 167, 169, 171, 173, 175, 177, 179, 181, 183, 185, 187, 189, 191, 193, 195, 197, 199, 201, 203, 205, 207, 209). Mas como condições do problema o resto deve ser composto e soma de dois quadrado perfeito.
Do fato que o resto é soma de dois quadrados perfeitos e utilizando a condição de [tex3]m=n[/tex3] , logo o resto teria que ser o maior número na equação pitagórica (em termos de geometria: hipotenusa). Disso resulta que [tex3]r[/tex3] [tex3]\in[/tex3] (9, 25, 49, 81, 121, 169), e os únicos que podem ser a "hipotenusa" é 25 e 169, no entanto, apenas 169 contempla as possíveis alternativas.
Espero ter ajudado de alguma forma. Qualquer equívoco fique a vontade para questionar.
Abraços...
Eu utilizei o fato de que todo numero impar quando dividido por um número par deixa resto impar.
Os possíveis restos do número [tex3]p[/tex3] por 210 [tex3]\in[/tex3] (1, 2, 3, 4, 5..., 209), porém o resto deve ser ímpar, ou seja, [tex3]r[/tex3] [tex3]\in[/tex3] (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 121, 123, 125, 127, 129, 131, 133, 135, 137, 139, 141, 143, 145, 147, 149, 151, 153, 155, 157, 159, 161, 163, 165, 167, 169, 171, 173, 175, 177, 179, 181, 183, 185, 187, 189, 191, 193, 195, 197, 199, 201, 203, 205, 207, 209). Mas como condições do problema o resto deve ser composto e soma de dois quadrado perfeito.
Do fato que o resto é soma de dois quadrados perfeitos e utilizando a condição de [tex3]m=n[/tex3] , logo o resto teria que ser o maior número na equação pitagórica (em termos de geometria: hipotenusa). Disso resulta que [tex3]r[/tex3] [tex3]\in[/tex3] (9, 25, 49, 81, 121, 169), e os únicos que podem ser a "hipotenusa" é 25 e 169, no entanto, apenas 169 contempla as possíveis alternativas.
Espero ter ajudado de alguma forma. Qualquer equívoco fique a vontade para questionar.
Abraços...
Última edição: rodBR (Qui 16 Mar, 2017 10:05). Total de 4 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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