Olimpíadas ⇒ OBM Racionalização Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

Sabendo que x, y e z são reais, satisfazendo xyz = 1, calcule o valor da expressão:
A = [tex3]\frac{1}{1 + x + xy} + \frac{1}{1 + y + yz} + \frac{1}{1 + z + xz}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{1 + x + xy} + \frac{1}{1 + y + yz} + \frac{1}{1 + z + xz}[/tex3]

.

a) 0.
b) 1.
c) -1.
d) 2.
e) -2.

[undefinied3]

Veja que [tex3]xz=1/y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]xz=1/y[/tex3]

, [tex3]xy=\frac{1}{z}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]xy=\frac{1}{z}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{1+z+xz}=\frac{1}{1+z+\frac{1}{y}}=\frac{y}{y+yz+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{1+z+xz}=\frac{1}{1+z+\frac{1}{y}}=\frac{y}{y+yz+1}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{1+x+xy}=\frac{1}{1+x+\frac{1}{z}}=\frac{z}{z+xz+1}=\frac{yz}{y+yz+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{1+x+xy}=\frac{1}{1+x+\frac{1}{z}}=\frac{z}{z+xz+1}=\frac{yz}{y+yz+1}[/tex3]

Então a expressão fica:
[tex3]\frac{yz}{1+y+yz}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{y}{1+y+yz}=\frac{1+y+yz}{1+y+yz}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{yz}{1+y+yz}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{y}{1+y+yz}=\frac{1+y+yz}{1+y+yz}=1[/tex3]