Mostrar que para n>1 os números n4+4 e n4+n2+1 são, ambos, compostos.
*Esse problema não é de nenhuma olimpíada, mas como está em uma lista minha para preparação de olimpíadas achei que deveria postar aqui.
Olimpíadas ⇒ Teoria dos números Tópico resolvido
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Teoria dos números
Última edição: andremazzari (Sex 24 Fev, 2017 13:27). Total de 1 vez.
Fev 2017
24
14:43
Re: Teoria dos números
Olá, boa tarde. Para mostra que os dois números são compostos, ou seja, [tex3]n^{4}+4=r\times s[/tex3]
I) [tex3]n^{4}+4\therefore[/tex3] somando e subtraindo [tex3]4n^{2}[/tex3] vamos obter uma diferença de quadrados, que por conseguinte, podemos escrever como um produto de dois fatores. Veja:
[tex3]n^{4}+4=n^{4}+4+4n^{2}-4n^{2}[/tex3]
[tex3]=n^{4}+4n^{2}+4-4n^{2}[/tex3]
[tex3]=(n^{2}+2)^{2}-(2n)^{2}[/tex3]
[tex3]=(n^{2}+2-2n)\times (n^{2}+2+2n)[/tex3] . Logo o número [tex3]n^{4}+4[/tex3] é composto.
II) [tex3]n^{4}+n^{2}+1\therefore[/tex3] somando e subtraindo [tex3]n^{2}[/tex3] , novamente vamos obter uma diferença de quadrados:
[tex3]n^{4}+n^{2}+1=n^{4}+n^{2}+1+n^{2}-n^{2}[/tex3]
[tex3]=n^{4}+2n^{2}+1-n^{2}[/tex3]
[tex3]=(n^{2}+1)^{2}-n^{2}[/tex3]
[tex3]=(n^{2}+1-n)\times (n^{2}+1+n)[/tex3] . Portanto o número [tex3]n^{4}+n^{2}+1[/tex3] é composto.
Nota: [tex3]a^{2}-b^{2}=(a-b)\times (a+b)[/tex3]
Att>> rodBR.
e [tex3]n^{4}+n^{2}+1=u\times v[/tex3]
vc pode utilizar a técnica de completar quadrado.I) [tex3]n^{4}+4\therefore[/tex3] somando e subtraindo [tex3]4n^{2}[/tex3] vamos obter uma diferença de quadrados, que por conseguinte, podemos escrever como um produto de dois fatores. Veja:
[tex3]n^{4}+4=n^{4}+4+4n^{2}-4n^{2}[/tex3]
[tex3]=n^{4}+4n^{2}+4-4n^{2}[/tex3]
[tex3]=(n^{2}+2)^{2}-(2n)^{2}[/tex3]
[tex3]=(n^{2}+2-2n)\times (n^{2}+2+2n)[/tex3] . Logo o número [tex3]n^{4}+4[/tex3] é composto.
II) [tex3]n^{4}+n^{2}+1\therefore[/tex3] somando e subtraindo [tex3]n^{2}[/tex3] , novamente vamos obter uma diferença de quadrados:
[tex3]n^{4}+n^{2}+1=n^{4}+n^{2}+1+n^{2}-n^{2}[/tex3]
[tex3]=n^{4}+2n^{2}+1-n^{2}[/tex3]
[tex3]=(n^{2}+1)^{2}-n^{2}[/tex3]
[tex3]=(n^{2}+1-n)\times (n^{2}+1+n)[/tex3] . Portanto o número [tex3]n^{4}+n^{2}+1[/tex3] é composto.
Nota: [tex3]a^{2}-b^{2}=(a-b)\times (a+b)[/tex3]
Att>> rodBR.
Última edição: rodBR (Sex 24 Fev, 2017 14:43). Total de 1 vez.
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