Olimpíadas

andremazzari

Mostrar que para n>1 os números n⁴+4 e n⁴+n²+1 são, ambos, compostos.

*Esse problema não é de nenhuma olimpíada, mas como está em uma lista minha para preparação de olimpíadas achei que deveria postar aqui.

Mensagem não lidapor **rodBR** » 24 Fev 2017, 14:43 · Mensagem não lida por **rodBR** » 24 Fev 2017, 14:43

Olá, boa tarde. Para mostra que os dois números são compostos, ou seja, [tex3]n^{4}+4=r\times s[/tex3] e [tex3]n^{4}+n^{2}+1=u\times v[/tex3] vc pode utilizar a técnica de completar quadrado.

I) [tex3]n^{4}+4\therefore[/tex3] somando e subtraindo [tex3]4n^{2}[/tex3] vamos obter uma diferença de quadrados, que por conseguinte, podemos escrever como um produto de dois fatores. Veja:

[tex3]n^{4}+4=n^{4}+4+4n^{2}-4n^{2}[/tex3]
[tex3]=n^{4}+4n^{2}+4-4n^{2}[/tex3]
[tex3]=(n^{2}+2)^{2}-(2n)^{2}[/tex3]
[tex3]=(n^{2}+2-2n)\times (n^{2}+2+2n)[/tex3] . Logo o número [tex3]n^{4}+4[/tex3] é composto.

II) [tex3]n^{4}+n^{2}+1\therefore[/tex3] somando e subtraindo [tex3]n^{2}[/tex3] , novamente vamos obter uma diferença de quadrados:

[tex3]n^{4}+n^{2}+1=n^{4}+n^{2}+1+n^{2}-n^{2}[/tex3]
[tex3]=n^{4}+2n^{2}+1-n^{2}[/tex3]
[tex3]=(n^{2}+1)^{2}-n^{2}[/tex3]
[tex3]=(n^{2}+1-n)\times (n^{2}+1+n)[/tex3] . Portanto o número [tex3]n^{4}+n^{2}+1[/tex3] é composto.

Nota: [tex3]a^{2}-b^{2}=(a-b)\times (a+b)[/tex3]

Att>> rodBR.

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