Olimpíadas ⇒ (Olímpiada do Espiríto Santo) Raízes

[Vscarv]

Ache todas as raízes da seguinte equação:

[tex3](x+1)^{21}+(x+1)^{20}(x-1)+(x+1)^{19}(x-1)^{2}+...+(x-1)^{21}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x+1)^{21}+(x+1)^{20}(x-1)+(x+1)^{19}(x-1)^{2}+...+(x-1)^{21}=0[/tex3]

Resposta

---

0

[undefinied3]

Veja que [tex3]\frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b[/tex3]

, [tex3]\frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2+ab+b^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2+ab+b^2[/tex3]

, enfim, a ideia se estende.

Assim, a expressão pode ser reescrita como
[tex3]\frac{(x+1)^{22}-(x-1)^{22}}{x+1-x+1}=\frac{(x+1)^{22}-(x-1)^{22}}{2}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(x+1)^{22}-(x-1)^{22}}{x+1-x+1}=\frac{(x+1)^{22}-(x-1)^{22}}{2}=0[/tex3]

[tex3](x+1)^{22}=(x-1)^{22} \rightarrow |x+1|=|x-1|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x+1)^{22}=(x-1)^{22} \rightarrow |x+1|=|x-1|[/tex3]

De fato, a única raiz é 0.