Olimpíadas ⇒ (Olimpíada dos Estados Unidos-95) Expressão Tópico resolvido

[Vscarv]

Prove que [tex3]\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4[/tex3]

[rodBR]

Olá Vscarv.

Utilizando o cubo da soma de dois termos e cubo da diferença de dois termos:
[tex3](a+b)^{3}=a^{3}+3.a^{2}.b+3.a.b^{2}+b^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b)^{3}=a^{3}+3.a^{2}.b+3.a.b^{2}+b^{3}[/tex3]

;
[tex3](a-b)^{3}=a^{3}-3.a^{2}.b+3.a.b^{2}-b^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-b)^{3}=a^{3}-3.a^{2}.b+3.a.b^{2}-b^{3}[/tex3]

;

Perceba que:
[tex3](2+\sqrt{2})^{3}=8+12\sqrt{2}+12+2\sqrt{2}<=>(2+\sqrt{2})^{3}=20+14\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2+\sqrt{2})^{3}=8+12\sqrt{2}+12+2\sqrt{2}<=>(2+\sqrt{2})^{3}=20+14\sqrt{2}[/tex3]

;
[tex3](2-\sqrt{2})^{3}=8-12\sqrt{2}+12-2\sqrt{2}<=>(2-\sqrt{2})^{3}=20-14\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2-\sqrt{2})^{3}=8-12\sqrt{2}+12-2\sqrt{2}<=>(2-\sqrt{2})^{3}=20-14\sqrt{2}[/tex3]

;

Portanto, temos:

[tex3]\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}[/tex3]

[tex3]=\sqrt[3]{(2+\sqrt{2})^{3}}+\sqrt[3]{(2-\sqrt{2})^{3}}[/tex3]

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[tex3]=\sqrt[3]{(2+\sqrt{2})^{3}}+\sqrt[3]{(2-\sqrt{2})^{3}}[/tex3]

[tex3]=2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]=2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]=4[/tex3]

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[tex3]=4[/tex3]

Nota: [tex3](\sqrt{2})^{3}=\sqrt{2^{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3](\sqrt{2})^{3}=\sqrt{2^{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}[/tex3]

vem do fato: [tex3](\sqrt{a})^{n}=\sqrt{a^{n}}[/tex3]

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[tex3](\sqrt{a})^{n}=\sqrt{a^{n}}[/tex3]

[PedroCunha]

Bom dia.

Trago outra solução:

[tex3]\\ k = \sqrt[3]{20+14\sqrt2} + \sqrt[3]{20-14\sqrt2} \therefore \\\\ k^3 = (20+14\sqrt2) + 3 \cdot \sqrt[3]{20+14\sqrt2} \cdot \sqrt[3]{20-14\sqrt2} \cdot \underbrace{\left(\sqrt[3]{20+14\sqrt2} + \sqrt[3]{20-14\sqrt2}\right)}_{=k} + (20-14\sqrt2) \therefore \\\\ k ^3= 40 + 3\sqrt[3]{8} \cdot k \therefore k^3 - 6k - 40 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\ k = \sqrt[3]{20+14\sqrt2} + \sqrt[3]{20-14\sqrt2} \therefore \\\\ k^3 = (20+14\sqrt2) + 3 \cdot \sqrt[3]{20+14\sqrt2} \cdot \sqrt[3]{20-14\sqrt2} \cdot \underbrace{\left(\sqrt[3]{20+14\sqrt2} + \sqrt[3]{20-14\sqrt2}\right)}_{=k} + (20-14\sqrt2) \therefore \\\\ k ^3= 40 + 3\sqrt[3]{8} \cdot k \therefore k^3 - 6k - 40 = 0[/tex3]

Note que 4 é raiz. Utilizando Briot-Ruffini para abaixar o grau do polinômio temos:

[tex3]\begin{array}{|c|c|c|c|c} 4 & 1 & 0 & -6 & -40 \\ \hline & 1 & 4 & 10 & 0 \end{array}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{array}{|c|c|c|c|c} 4 & 1 & 0 & -6 & -40 \\ \hline & 1 & 4 & 10 & 0 \end{array}[/tex3]

de onde tiramos [tex3]k^3 - 6k - 40 = 0 \therefore (k-4) \cdot (k^2+4k+10) = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k^3 - 6k - 40 = 0 \therefore (k-4) \cdot (k^2+4k+10) = 0[/tex3]

como o segundo polinômio não tem raízes reais, fica provado que:

[tex3]\boxed{\boxed{ k = \sqrt[3]{20+14\sqrt2} + \sqrt[3]{20-14\sqrt2} = 4 }}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{ k = \sqrt[3]{20+14\sqrt2} + \sqrt[3]{20-14\sqrt2} = 4 }}[/tex3]

Grande abraço,
Pedro.