Olimpíadas(Olimpíada do Chile-94) Expressão Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Vscarv
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Fev 2017 10 22:34

(Olimpíada do Chile-94) Expressão

Mensagem não lida por Vscarv »

Seja x um número tal que [tex3]x+\frac{1}{x}=-1[/tex3] . Calcule [tex3]x^{1994}+\frac{1}{x^{1994}}[/tex3]
Resposta

-1

Última edição: Vscarv (Sex 10 Fev, 2017 22:34). Total de 1 vez.



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rodBR
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Fev 2017 11 00:16

Re: \(Olimpíada do Chile-94\) Expressão

Mensagem não lida por rodBR »

Perceba que:
[tex3]\(x+\frac{1}{x}\)^{2}=\(-1\)^{2}\rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=-1[/tex3]
[tex3]\(x+\frac{1}{x}\)^{4}=\(-1\)^{4}\rightarrow x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=-1[/tex3]
Podemos verificar que quando elevamos a equação [tex3]\rightarrow x+\frac{1}{x}=-1[/tex3] a um expoente par o resultado continua sendo -1.
Mas isso precisa ser provado. Vamos tentar provar este fato.

Prova: Seja [tex3]2n[/tex3] um número par [tex3]\neq 0[/tex3] . Temos:

[tex3]\(x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}\)^{2}=\(-1\)^{2}[/tex3]
[tex3]x^{4n}+2\times \frac{x^{2n}}{x^{2n}}+\frac{1}{x^{4n}}=1[/tex3]
[tex3]x^{4n}+2+\frac{1}{x^{4n}}=1[/tex3]
[tex3]x^{4n}+\frac{1}{x^{4n}}=1-2[/tex3]
[tex3]x^{4n}+\frac{1}{x^{4n}}=-1[/tex3]


No desenvolvimento de [tex3]\(x+\frac{1}{x}\)=-1[/tex3] em potencias pares sempre vamos obter:[tex3]x^{4n}+2+\frac{1}{x^{4n}}=1[/tex3]
Logo sempre vamos ter [tex3]x^{4n}+\frac{1}{x^{4n}}=-1.[/tex3]
Portanto [tex3]x^{1994}+\frac{1}{x^{1994}}=-1.[/tex3]

Última edição: rodBR (Sáb 11 Fev, 2017 00:16). Total de 1 vez.


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PedroCunha
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Fev 2017 11 10:15

Re: (Olimpíada do Chile-94) Expressão

Mensagem não lida por PedroCunha »

Bom dia.

Sua solução possui um problema.

Note que:

[tex3]\frac{1994}{4} \notin \mathbb{Z}[/tex3] e que [tex3]1994 = 2 \cdot 997[/tex3] que não é da forma [tex3]2 \cdot 2n[/tex3] onde [tex3]2n[/tex3] é um número par real qualquer,

Proponho outra solução:

[tex3]x + \frac{1}{x} = -1 \therefore x^2 + x - 1 = 0 \therefore x = \frac{-1 \pm \sqrt3i}{2} \Leftrightarrow x = \operatorname{cis} \left( \frac{2\pi}{3} \right) \text{ ou } x = \operatorname{cis} \left( \frac{4\pi}{3} \right)[/tex3]

onde [tex3]\operatorname{cis} ( \alpha) = \cos(\alpha) + i \cdot \sin(\alpha)[/tex3] . Então, para o primeiro caso:

[tex3]x^{1994} + \frac{1}{x^{1994}} = x^{1994} + x^{-1994}= \operatorname{cis} \left( 1994 \cdot \frac{2\pi}{3} \right) +\operatorname{cis} \left(-1994 \cdot \frac{2\pi}{3}\right)[/tex3]

Observe ainda que:

[tex3]\cis(\alpha) + \cis(-\alpha) = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha) + \cos(-\alpha) + i\sin(-\alpha) = 2\cos(\alpha) + i\sin(\alpha) - i\sin(\alpha) = 2\cos(\alpha)[/tex3]

Logo:

[tex3]x^{1994} + x^{-1994} = 2\cos \left( 1994 \cdot \frac{2\pi}{3} \right) = 2 \cdot \cos \left(\frac{2\pi}{3} \right) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -1[/tex3]

Para o segundo caso:

[tex3]x^{1994} + x^{-1994} = 2\cos \left(1994 \cdot \frac{4\pi}{3} \right) = 2 \cdot \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = 2 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right) = -1[/tex3]

Portanto, [tex3]\boxed{\boxed{ x^{1994} + \frac{1}{x^{1994}} = -1 }}[/tex3]

Creio ser isso.

Grande abraço,
Pedro
Última edição: PedroCunha (Sáb 11 Fev, 2017 10:15). Total de 1 vez.


"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

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rodBR
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Fev 2017 11 10:34

Re: (Olimpíada do Chile-94) Expressão

Mensagem não lida por rodBR »

Olá Pedro. Bom dia. Realmente me equivoquei com a solução.

Obrigado.


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

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AAF
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Re: \(Olimpíada do Chile-94\) Expressão

Mensagem não lida por AAF »

A solução do Pedro está totalmente correta e mostra a importância das técnicas envolvendo números complexos.

Mas para os que não dominam essas técnicas, apresento um argumento alternativo um pouco mais acessível.

Sabemos que [tex3]x+\frac{1}{x}=-1[/tex3] e podemos calcular facilmente [tex3]x^2+\frac{1}{x^2}=-1[/tex3] .

Pode-se verificar, recursivamente, que [tex3]x^{n}+\frac{1}{x^n}=\(x+\frac{1}{x}\)\(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}\)-\(x^{n-2}+\frac{1}{x^{n-2}}\)[/tex3] , para [tex3]n>2[/tex3] .

Ao computar alguns termos dessa sequência, partindo de [tex3]n=1[/tex3] , temos: [tex3]-1,-1,2,-1,-1,2,-1,-1,2...[/tex3] ou seja, o valor de [tex3]x^{n}+\frac{1}{x^n}=2[/tex3] se [tex3]n[/tex3] é múltiplo de 3, e [tex3]x^{n}+\frac{1}{x^n}=-1[/tex3] quando [tex3]n[/tex3] não for múltiplo de 3, para [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3] . Prove por indução como exercício.

Assim, como 1994 não é múltiplo de 3, [tex3]x^{1994}+\frac{1}{x^{1994}}=-1[/tex3] e teríamos [tex3]x^{2004}+\frac{1}{x^{2004}}=2[/tex3] , como [tex3]2004[/tex3] é múltiplo de 3.




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