Resposta
-1
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Olimpíadas ⇒ (Olimpíada do Chile-94) Expressão Tópico resolvido
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Vscarv
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Fev 2017
10
22:34
(Olimpíada do Chile-94) Expressão
Seja x um número tal que [tex3]x+\frac{1}{x}=-1[/tex3]
. Calcule [tex3]x^{1994}+\frac{1}{x^{1994}}[/tex3]
-1
-1
Editado pela última vez por Vscarv em 10 Fev 2017, 22:34, em um total de 1 vez.
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rodBR
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Fev 2017
11
00:16
Re: \(Olimpíada do Chile-94\) Expressão
Perceba que:
[tex3]\(x+\frac{1}{x}\)^{2}=\(-1\)^{2}\rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=-1[/tex3]
[tex3]\(x+\frac{1}{x}\)^{4}=\(-1\)^{4}\rightarrow x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=-1[/tex3]
Podemos verificar que quando elevamos a equação [tex3]\rightarrow x+\frac{1}{x}=-1[/tex3] a um expoente par o resultado continua sendo -1.
Mas isso precisa ser provado. Vamos tentar provar este fato.
Prova: Seja [tex3]2n[/tex3] um número par [tex3]\neq 0[/tex3] . Temos:
[tex3]\(x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}\)^{2}=\(-1\)^{2}[/tex3]
[tex3]x^{4n}+2\times \frac{x^{2n}}{x^{2n}}+\frac{1}{x^{4n}}=1[/tex3]
[tex3]x^{4n}+2+\frac{1}{x^{4n}}=1[/tex3]
[tex3]x^{4n}+\frac{1}{x^{4n}}=1-2[/tex3]
[tex3]x^{4n}+\frac{1}{x^{4n}}=-1[/tex3]
No desenvolvimento de [tex3]\(x+\frac{1}{x}\)=-1[/tex3] em potencias pares sempre vamos obter:[tex3]x^{4n}+2+\frac{1}{x^{4n}}=1[/tex3]
Logo sempre vamos ter [tex3]x^{4n}+\frac{1}{x^{4n}}=-1.[/tex3]
Portanto [tex3]x^{1994}+\frac{1}{x^{1994}}=-1.[/tex3]
[tex3]\(x+\frac{1}{x}\)^{2}=\(-1\)^{2}\rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=-1[/tex3]
[tex3]\(x+\frac{1}{x}\)^{4}=\(-1\)^{4}\rightarrow x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=-1[/tex3]
Podemos verificar que quando elevamos a equação [tex3]\rightarrow x+\frac{1}{x}=-1[/tex3] a um expoente par o resultado continua sendo -1.
Mas isso precisa ser provado. Vamos tentar provar este fato.
Prova: Seja [tex3]2n[/tex3] um número par [tex3]\neq 0[/tex3] . Temos:
[tex3]\(x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}\)^{2}=\(-1\)^{2}[/tex3]
[tex3]x^{4n}+2\times \frac{x^{2n}}{x^{2n}}+\frac{1}{x^{4n}}=1[/tex3]
[tex3]x^{4n}+2+\frac{1}{x^{4n}}=1[/tex3]
[tex3]x^{4n}+\frac{1}{x^{4n}}=1-2[/tex3]
[tex3]x^{4n}+\frac{1}{x^{4n}}=-1[/tex3]
No desenvolvimento de [tex3]\(x+\frac{1}{x}\)=-1[/tex3] em potencias pares sempre vamos obter:[tex3]x^{4n}+2+\frac{1}{x^{4n}}=1[/tex3]
Logo sempre vamos ter [tex3]x^{4n}+\frac{1}{x^{4n}}=-1.[/tex3]
Portanto [tex3]x^{1994}+\frac{1}{x^{1994}}=-1.[/tex3]
Editado pela última vez por rodBR em 11 Fev 2017, 00:16, em um total de 1 vez.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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PedroCunha
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Fev 2017
11
10:15
Re: (Olimpíada do Chile-94) Expressão
Bom dia.
Sua solução possui um problema.
Note que:
[tex3]\frac{1994}{4} \notin \mathbb{Z}[/tex3] e que [tex3]1994 = 2 \cdot 997[/tex3] que não é da forma [tex3]2 \cdot 2n[/tex3] onde [tex3]2n[/tex3] é um número par real qualquer,
Proponho outra solução:
[tex3]x + \frac{1}{x} = -1 \therefore x^2 + x - 1 = 0 \therefore x = \frac{-1 \pm \sqrt3i}{2} \Leftrightarrow x = \operatorname{cis} \left( \frac{2\pi}{3} \right) \text{ ou } x = \operatorname{cis} \left( \frac{4\pi}{3} \right)[/tex3]
onde [tex3]\operatorname{cis} ( \alpha) = \cos(\alpha) + i \cdot \sin(\alpha)[/tex3] . Então, para o primeiro caso:
[tex3]x^{1994} + \frac{1}{x^{1994}} = x^{1994} + x^{-1994}= \operatorname{cis} \left( 1994 \cdot \frac{2\pi}{3} \right) +\operatorname{cis} \left(-1994 \cdot \frac{2\pi}{3}\right)[/tex3]
Observe ainda que:
[tex3]\cis(\alpha) + \cis(-\alpha) = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha) + \cos(-\alpha) + i\sin(-\alpha) = 2\cos(\alpha) + i\sin(\alpha) - i\sin(\alpha) = 2\cos(\alpha)[/tex3]
Logo:
[tex3]x^{1994} + x^{-1994} = 2\cos \left( 1994 \cdot \frac{2\pi}{3} \right) = 2 \cdot \cos \left(\frac{2\pi}{3} \right) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -1[/tex3]
Para o segundo caso:
[tex3]x^{1994} + x^{-1994} = 2\cos \left(1994 \cdot \frac{4\pi}{3} \right) = 2 \cdot \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = 2 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right) = -1[/tex3]
Portanto, [tex3]\boxed{\boxed{ x^{1994} + \frac{1}{x^{1994}} = -1 }}[/tex3]
Creio ser isso.
Grande abraço,
Pedro
Sua solução possui um problema.
Note que:
[tex3]\frac{1994}{4} \notin \mathbb{Z}[/tex3] e que [tex3]1994 = 2 \cdot 997[/tex3] que não é da forma [tex3]2 \cdot 2n[/tex3] onde [tex3]2n[/tex3] é um número par real qualquer,
Proponho outra solução:
[tex3]x + \frac{1}{x} = -1 \therefore x^2 + x - 1 = 0 \therefore x = \frac{-1 \pm \sqrt3i}{2} \Leftrightarrow x = \operatorname{cis} \left( \frac{2\pi}{3} \right) \text{ ou } x = \operatorname{cis} \left( \frac{4\pi}{3} \right)[/tex3]
onde [tex3]\operatorname{cis} ( \alpha) = \cos(\alpha) + i \cdot \sin(\alpha)[/tex3] . Então, para o primeiro caso:
[tex3]x^{1994} + \frac{1}{x^{1994}} = x^{1994} + x^{-1994}= \operatorname{cis} \left( 1994 \cdot \frac{2\pi}{3} \right) +\operatorname{cis} \left(-1994 \cdot \frac{2\pi}{3}\right)[/tex3]
Observe ainda que:
[tex3]\cis(\alpha) + \cis(-\alpha) = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha) + \cos(-\alpha) + i\sin(-\alpha) = 2\cos(\alpha) + i\sin(\alpha) - i\sin(\alpha) = 2\cos(\alpha)[/tex3]
Logo:
[tex3]x^{1994} + x^{-1994} = 2\cos \left( 1994 \cdot \frac{2\pi}{3} \right) = 2 \cdot \cos \left(\frac{2\pi}{3} \right) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -1[/tex3]
Para o segundo caso:
[tex3]x^{1994} + x^{-1994} = 2\cos \left(1994 \cdot \frac{4\pi}{3} \right) = 2 \cdot \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = 2 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right) = -1[/tex3]
Portanto, [tex3]\boxed{\boxed{ x^{1994} + \frac{1}{x^{1994}} = -1 }}[/tex3]
Creio ser isso.
Grande abraço,
Pedro
Editado pela última vez por PedroCunha em 11 Fev 2017, 10:15, em um total de 1 vez.
"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."
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rodBR
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Fev 2017
11
10:34
Re: (Olimpíada do Chile-94) Expressão
Olá Pedro. Bom dia. Realmente me equivoquei com a solução.
Obrigado.
Obrigado.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
Set 2017
10
20:17
Re: \(Olimpíada do Chile-94\) Expressão
A solução do Pedro está totalmente correta e mostra a importância das técnicas envolvendo números complexos.
Mas para os que não dominam essas técnicas, apresento um argumento alternativo um pouco mais acessível.
Sabemos que [tex3]x+\frac{1}{x}=-1[/tex3] e podemos calcular facilmente [tex3]x^2+\frac{1}{x^2}=-1[/tex3] .
Pode-se verificar, recursivamente, que [tex3]x^{n}+\frac{1}{x^n}=\(x+\frac{1}{x}\)\(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}\)-\(x^{n-2}+\frac{1}{x^{n-2}}\)[/tex3] , para [tex3]n>2[/tex3] .
Ao computar alguns termos dessa sequência, partindo de [tex3]n=1[/tex3] , temos: [tex3]-1,-1,2,-1,-1,2,-1,-1,2...[/tex3] ou seja, o valor de [tex3]x^{n}+\frac{1}{x^n}=2[/tex3] se [tex3]n[/tex3] é múltiplo de 3, e [tex3]x^{n}+\frac{1}{x^n}=-1[/tex3] quando [tex3]n[/tex3] não for múltiplo de 3, para [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3] . Prove por indução como exercício.
Assim, como 1994 não é múltiplo de 3, [tex3]x^{1994}+\frac{1}{x^{1994}}=-1[/tex3] e teríamos [tex3]x^{2004}+\frac{1}{x^{2004}}=2[/tex3] , como [tex3]2004[/tex3] é múltiplo de 3.
Mas para os que não dominam essas técnicas, apresento um argumento alternativo um pouco mais acessível.
Sabemos que [tex3]x+\frac{1}{x}=-1[/tex3] e podemos calcular facilmente [tex3]x^2+\frac{1}{x^2}=-1[/tex3] .
Pode-se verificar, recursivamente, que [tex3]x^{n}+\frac{1}{x^n}=\(x+\frac{1}{x}\)\(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}\)-\(x^{n-2}+\frac{1}{x^{n-2}}\)[/tex3] , para [tex3]n>2[/tex3] .
Ao computar alguns termos dessa sequência, partindo de [tex3]n=1[/tex3] , temos: [tex3]-1,-1,2,-1,-1,2,-1,-1,2...[/tex3] ou seja, o valor de [tex3]x^{n}+\frac{1}{x^n}=2[/tex3] se [tex3]n[/tex3] é múltiplo de 3, e [tex3]x^{n}+\frac{1}{x^n}=-1[/tex3] quando [tex3]n[/tex3] não for múltiplo de 3, para [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3] . Prove por indução como exercício.
Assim, como 1994 não é múltiplo de 3, [tex3]x^{1994}+\frac{1}{x^{1994}}=-1[/tex3] e teríamos [tex3]x^{2004}+\frac{1}{x^{2004}}=2[/tex3] , como [tex3]2004[/tex3] é múltiplo de 3.
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