Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).
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Vscarv
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por Vscarv » 10 Fev 2017, 22:17
O número [tex3](2+\sqrt{2})^{3}(3-\sqrt{2})^{4}+(2-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})^{4}[/tex3]
é:
a) inteiro impar
b) inteiro par
c) racional não inteiro
d) irracional positivo
e) irracional negativo
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Vscarv
jedi
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por jedi » 11 Fev 2017, 12:42
[tex3](2+\sqrt{2})^{3}(3-\sqrt{2})^{4}+(2-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})^{4}[/tex3]
[tex3]=[(2+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})]^3(3-\sqrt{2})+[(2-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})]^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]=(4+\sqrt{2})^3(3-\sqrt{2})+(4-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]=(64+3.16\sqrt{2}+3.4.2+2\sqrt2)(3-\sqrt{2})+(64-3.16\sqrt{2}+3.4.2-2\sqrt2)(3+\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]=(88+50\sqrt{2})(3-\sqrt{2})+(88-50\sqrt{2})(3+\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]=164+62\sqrt{2}+164-62\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]=328[/tex3]
inteiro par
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jedi
Auto Excluído (ID:19677)
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por Auto Excluído (ID:19677) » 03 Abr 2018, 16:34
Era mesmo necessário expandir [tex3]=(4+\sqrt{2})^3(3-\sqrt{2})+(4-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]
?
Auto Excluído (ID:19677)
jedi
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por jedi » 03 Abr 2018, 17:51
Foi a única forma que encontrei. Pode ser que haja outra mais direta, no entanto não consegui visualizar outra forma de resolver.
jedi
Papiro8814
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por Papiro8814 » 07 Abr 2024, 19:52
jedi escreveu: ↑ 11 Fev 2017, 12:42
[tex3](2+\sqrt{2})^{3}(3-\sqrt{2})^{4}+(2-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})^{4}[/tex3]
[tex3]=[(2+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})]^3(3-\sqrt{2})+[(2-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})]^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]=(4+\sqrt{2})^3(3-\sqrt{2})+(4-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]=(64+3.16\sqrt{2}+3.4.2+2\sqrt2)(3-\sqrt{2})+(64-3.16\sqrt{2}+3.4.2-2\sqrt2)(3+\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]=(88+50\sqrt{2})(3-\sqrt{2})+(88-50\sqrt{2})(3+\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]=164+62\sqrt{2}+164-62\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]=328[/tex3]
inteiro par
Por serem produtos notáveis eu consegui dividir até conseguir colocar alguém em evidência. Não sei se esta matematicamente correto, mas eu consegui chegar no gabarito
Última edição:
Papiro8814 (07 Abr 2024, 19:53). Total de 1 vez.
Rumo ao CN!
Papiro8814
FelipeMartin
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Mensagem não lida
por FelipeMartin » 07 Abr 2024, 20:43
se você for um bom algebrista, talvez dê pra fazer provando que:
[tex3]z \bar w = \bar{(\bar z w)}[/tex3]
para [tex3]z = a + b \sqrt 2[/tex3]
com [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
inteiros.
Se [tex3]z = a+b\sqrt2[/tex3]
e [tex3]w = c + d \sqrt 2[/tex3]
, teremos [tex3]\bar z = a - b\sqrt2[/tex3]
e [tex3]\bar w = c-d\sqrt2[/tex3]
[tex3]z \bar w = (a+b \sqrt 2)(c-d\sqrt2) = (ac-2bd) + (bc-ad)\sqrt2[/tex3]
e
[tex3]\bar z w = (a-b\sqrt2)(c+d\sqrt2) = ac-2bd + (ad-bc)\sqrt2 = \bar{(z \bar w)}[/tex3]
pronto. Você quer [tex3]z = (2 + \sqrt2)^3[/tex3]
e [tex3]w=(3+\sqrt2)^4[/tex3]
você está pegando o dobro da parte "real" (inteira sem [tex3]\sqrt 2[/tex3]
) do número [tex3](2 + \sqrt2)^3(3+\sqrt2)^4[/tex3]
. Então é inteiro par. Não precisa fazer mais contas.
Última edição:
FelipeMartin (07 Abr 2024, 20:43). Total de 1 vez.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
FelipeMartin
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(Obm - 2005) Divisibilidade
Respostas: 1
Primeira Postagem
Prove que a soma 1^k + 2^k + ... + n^k, onde n é um inteiro e k é ímpar, é divisível por 1 + 2 + ... + n.
Última msg
Questão já postada no fórum: (OBM) Teoria dos números
1 Respostas
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Última msg por Ittalo25
02 Ago 2019, 10:10
Nova mensagem
(OBM 2005) Teoria dos Números
Respostas: 1
por
Deleted User 24633 »
12 Ago 2020, 15:51 » em
Olimpíadas
Primeira Postagem
Dados os inteiros positivos a, c e o inteiro b , prove que existe um inteiro positivo x tal que a^x+x \equiv b \pmod c.
Última msg
........................up........................
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Última msg por Deleted User 25040
21 Dez 2020, 17:31
Nova mensagem
(OBM) Expressão
Respostas: 3
Primeira Postagem
Simplificando a expressão:
\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}
a minha ficou assim:...
Última msg
Olá, Grisha.
Fazendo de trás para frente e lembrando do produto notável: (a+b) \cdot (a-b) = a^2-b^2 :
\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} = \sqrt{2 -...
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Última msg por PedroCunha
07 Mai 2014, 21:42
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(CFTCE 2005) Simplificação de Expressão Matemática
Respostas: 1
Primeira Postagem
Para x <-3 , simplificando a expressão y=\sqrt{9-6x+x^2}+\sqrt{9+6x+x^2} tem-se:
a) y=6
B) y=6-2x
c) y=2x
d) y=-2x
e) y=3x-1
Última msg
Perceba que na primeira raiz você tem (x-3)^2 e na segunda (x+3)^2 . E lembre-se que \sqrt{x^2}=|x|
1 Respostas
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Última msg por Killin
10 Jan 2018, 17:02
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(OBM) Baricentro e Incentro
Respostas: 3
Primeira Postagem
OBM - Os lados de um triângulo formam uma progressão aritmética de razão t . Então a distância entre o incentro e o baricentro deste triângulo é:
a) t
b) t/2
c) t/3
d) 2t/3
e) faltam dados
Última msg
Tem um jeito mais rápido de ver isso se você usar o teorema do incentro .
Chame de A o vértice oposto ao lado que é a média aritmética dos outros dois.
Seja D o pé da bissetriz interna do vértice A...
3 Respostas
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Última msg por Auto Excluído (ID:12031)
24 Jul 2019, 00:17