Olimpíadas ⇒ (OBM-2005) Expressão

[Vscarv]

O número [tex3](2+\sqrt{2})^{3}(3-\sqrt{2})^{4}+(2-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})^{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2+\sqrt{2})^{3}(3-\sqrt{2})^{4}+(2-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})^{4}[/tex3]

é:

a) inteiro impar
b) inteiro par
c) racional não inteiro
d) irracional positivo
e) irracional negativo

Resposta

---

B

[jedi]

[tex3](2+\sqrt{2})^{3}(3-\sqrt{2})^{4}+(2-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})^{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2+\sqrt{2})^{3}(3-\sqrt{2})^{4}+(2-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})^{4}[/tex3]

[tex3]=[(2+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})]^3(3-\sqrt{2})+[(2-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})]^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=[(2+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})]^3(3-\sqrt{2})+[(2-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})]^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]

[tex3]=(4+\sqrt{2})^3(3-\sqrt{2})+(4-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=(4+\sqrt{2})^3(3-\sqrt{2})+(4-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]

[tex3]=(64+3.16\sqrt{2}+3.4.2+2\sqrt2)(3-\sqrt{2})+(64-3.16\sqrt{2}+3.4.2-2\sqrt2)(3+\sqrt{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=(64+3.16\sqrt{2}+3.4.2+2\sqrt2)(3-\sqrt{2})+(64-3.16\sqrt{2}+3.4.2-2\sqrt2)(3+\sqrt{2})[/tex3]

[tex3]=(88+50\sqrt{2})(3-\sqrt{2})+(88-50\sqrt{2})(3+\sqrt{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=(88+50\sqrt{2})(3-\sqrt{2})+(88-50\sqrt{2})(3+\sqrt{2})[/tex3]

[tex3]=164+62\sqrt{2}+164-62\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]=164+62\sqrt{2}+164-62\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]=328[/tex3]

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[tex3]=328[/tex3]

inteiro par

[Auto Excluído (ID:19677)]

Era mesmo necessário expandir [tex3]=(4+\sqrt{2})^3(3-\sqrt{2})+(4-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]

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[tex3]=(4+\sqrt{2})^3(3-\sqrt{2})+(4-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]

?

[jedi]

Foi a única forma que encontrei. Pode ser que haja outra mais direta, no entanto não consegui visualizar outra forma de resolver.

[Papiro8814]

[tex3](2+\sqrt{2})^{3}(3-\sqrt{2})^{4}+(2-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})^{4}[/tex3]

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[tex3](2+\sqrt{2})^{3}(3-\sqrt{2})^{4}+(2-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})^{4}[/tex3]

[tex3]=[(2+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})]^3(3-\sqrt{2})+[(2-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})]^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=[(2+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})]^3(3-\sqrt{2})+[(2-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})]^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]

[tex3]=(4+\sqrt{2})^3(3-\sqrt{2})+(4-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=(4+\sqrt{2})^3(3-\sqrt{2})+(4-\sqrt{2})^{3}(3+\sqrt{2})[/tex3]

[tex3]=(64+3.16\sqrt{2}+3.4.2+2\sqrt2)(3-\sqrt{2})+(64-3.16\sqrt{2}+3.4.2-2\sqrt2)(3+\sqrt{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=(64+3.16\sqrt{2}+3.4.2+2\sqrt2)(3-\sqrt{2})+(64-3.16\sqrt{2}+3.4.2-2\sqrt2)(3+\sqrt{2})[/tex3]

[tex3]=(88+50\sqrt{2})(3-\sqrt{2})+(88-50\sqrt{2})(3+\sqrt{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=(88+50\sqrt{2})(3-\sqrt{2})+(88-50\sqrt{2})(3+\sqrt{2})[/tex3]

[tex3]=164+62\sqrt{2}+164-62\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]=164+62\sqrt{2}+164-62\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]=328[/tex3]

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[tex3]=328[/tex3]

inteiro par

Por serem produtos notáveis eu consegui dividir até conseguir colocar alguém em evidência. Não sei se esta matematicamente correto, mas eu consegui chegar no gabarito

[FelipeMartin]

se você for um bom algebrista, talvez dê pra fazer provando que:

[tex3]z \bar w = \bar{(\bar z w)}[/tex3]

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[tex3]z \bar w = \bar{(\bar z w)}[/tex3]

para [tex3]z = a + b \sqrt 2[/tex3]

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[tex3]z = a + b \sqrt 2[/tex3]

com [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

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[tex3]b[/tex3]

inteiros.

Se [tex3]z = a+b\sqrt2[/tex3]

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[tex3]z = a+b\sqrt2[/tex3]

e [tex3]w = c + d \sqrt 2[/tex3]

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[tex3]w = c + d \sqrt 2[/tex3]

, teremos [tex3]\bar z = a - b\sqrt2[/tex3]

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[tex3]\bar z = a - b\sqrt2[/tex3]

e [tex3]\bar w = c-d\sqrt2[/tex3]

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[tex3]\bar w = c-d\sqrt2[/tex3]

[tex3]z \bar w = (a+b \sqrt 2)(c-d\sqrt2) = (ac-2bd) + (bc-ad)\sqrt2[/tex3]

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[tex3]z \bar w = (a+b \sqrt 2)(c-d\sqrt2) = (ac-2bd) + (bc-ad)\sqrt2[/tex3]

e
[tex3]\bar z w = (a-b\sqrt2)(c+d\sqrt2) = ac-2bd + (ad-bc)\sqrt2 = \bar{(z \bar w)}[/tex3]

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[tex3]\bar z w = (a-b\sqrt2)(c+d\sqrt2) = ac-2bd + (ad-bc)\sqrt2 = \bar{(z \bar w)}[/tex3]

pronto. Você quer [tex3]z = (2 + \sqrt2)^3[/tex3]

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[tex3]z = (2 + \sqrt2)^3[/tex3]

e [tex3]w=(3+\sqrt2)^4[/tex3]

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[tex3]w=(3+\sqrt2)^4[/tex3]

você está pegando o dobro da parte "real" (inteira sem [tex3]\sqrt 2[/tex3]

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[tex3]\sqrt 2[/tex3]

) do número [tex3](2 + \sqrt2)^3(3+\sqrt2)^4[/tex3]

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[tex3](2 + \sqrt2)^3(3+\sqrt2)^4[/tex3]

. Então é inteiro par. Não precisa fazer mais contas.