Olimpíadas(Olimpíada de minas gerais) Expressão Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Vscarv
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Fev 2017 10 19:46

(Olimpíada de minas gerais) Expressão

Mensagem não lida por Vscarv »

Qual o valor do inteiro da expressão [tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} +\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex3] ?

a) 0
b) 1
c) 2
d) -2

Resposta

B

Última edição: Vscarv (Sex 10 Fev, 2017 19:46). Total de 1 vez.



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PedroCunha
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Fev 2017 10 20:13

Re: (Olimpíada de minas gerais) Expressão

Mensagem não lida por PedroCunha »

Boa noite.

Chama a expressão de [tex3]k, k > 0[/tex3] e eleve a expressão ao cubo, utilizando o produto notável [tex3](a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + 3ab \cdot (a+b) + b^3[/tex3] , lembrando da substituição feita.

Qualquer dúvida é só chamar.

Abraço,
Pedro

Última edição: PedroCunha (Sex 10 Fev, 2017 20:13). Total de 1 vez.


"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

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undefinied3
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Fev 2017 10 20:42

Re: (Olimpíada de minas gerais) Expressão

Mensagem não lida por undefinied3 »

Uma alternativa que pessoalmente sempre gosto de praticar é tentar fatorar a expressão. Nesse tipo de problema costuma ser possível fazer isso. De fato, eu diria que a solução proposta pelo Pedro é bem mais imediata e menos.. forçada eu diria, mas às vezes ter as duas opções pode te ajudar mais tarde.

Se os termos estão na raiz cúbica, seria interessante que eles fossem alguma coisa levada ao cubo. Como [tex3](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex3] :
[tex3]2+\sqrt{5}=\frac{16+8\sqrt{5}}{8}=\frac{1^3+3.1.\sqrt{5}+3.1.\sqrt{5}^2+\sqrt{5}^3}{8}=\frac{(1+\sqrt{5})^3}{2^3}[/tex3]

Analogamente, o outro termo vira [tex3]\frac{(1-\sqrt{5})^3}{2^3}[/tex3]

E rapidamente verificamos que o resultado é 1.
Última edição: undefinied3 (Sex 10 Fev, 2017 20:42). Total de 2 vezes.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Auto Excluído (ID:19677)
6 - Doutor
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Abr 2018 03 12:16

Re: (Olimpíada de minas gerais) Expressão

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:19677) »

[tex3]\sqrt[3]{\frac{(1-\sqrt{5})^3}{2^3}}[/tex3] Por que no numerador não fica módulo?



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petras
7 - Einstein
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Abr 2018 03 12:49

Re: (Olimpíada de minas gerais) Expressão

Mensagem não lida por petras »

isabelladias,
Lembre-se da propriedade do módulo:

[tex3]\sqrt{x^{\color{red}2}}=|x|[/tex3]

Não há essa propriedade para a raiz cúbica.



Auto Excluído (ID:19677)
6 - Doutor
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Abr 2018 03 14:22

Re: (Olimpíada de minas gerais) Expressão

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:19677) »

E para expoentes no x múltiplos de 2?



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petras
7 - Einstein
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Abr 2018 03 15:04

Re: (Olimpíada de minas gerais) Expressão

Mensagem não lida por petras »

isabelladias,
Você mesmo pode responder. Não tente memorizar as opções mas entender o conceito e assim nunca mais irá esquecer.

Por que [tex3]\sqrt{x^2}=|x|?\rightarrow Ex: \sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3=|-3|:\sqrt{(3)^2}=\sqrt{9} = 3=|3| [/tex3]


Para expoentes pares [tex3]\sqrt[4]{x^4}=|x|?\rightarrow Ex: \sqrt[4]{(-2)^4}=\sqrt[4]{16}=2=|-2|:\sqrt[4]{(2)^4}=\sqrt[4]{16} = 2=|2| [/tex3]

Portanto pode-se concluir que... fica para você completar

Última edição: petras (Ter 03 Abr, 2018 15:05). Total de 1 vez.



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