Olimpíadas ⇒ (OES) Proporção Tópico resolvido

[Vscarv]

Um saco de balas foi distribuído entre André, Bruno e Carlos na proporção 5:4:3. Eles notaram que se a mesma quantidade de balas fosse distribuída na proporção 7:6:5, um deles receberia 40 balas a mais. Determine o número de balas que cada um recebeu

Resposta

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Gabarito: 288,360 e 480

[csmarcelo]

Creio que o gabarito esteja incorreto.

[tex3]288+360+480=1128[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]288+360+480=1128[/tex3]

Não há como dividir 1128 na proporção 7:6:5.

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Um saco de balas foi distribuído entre André, Bruno e Carlos na proporção 5:4:3.

[tex3]5x+4x+3x=b\Rightarrow 12x=b\ (I)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5x+4x+3x=b\Rightarrow 12x=b\ (I)[/tex3]

, sendo [tex3]b[/tex3]

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[tex3]b[/tex3]

o total de balas distribuídas.

Se a mesma quantidade fosse distribuída na proporção 7:6:5, teríamos:

[tex3]7y+6y+5y=b\Rightarrow 18y=b\ (II)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7y+6y+5y=b\Rightarrow 18y=b\ (II)[/tex3]

Se nessa segunda distribuição um deles recebeu 40 balas a mais, então, um dos itens abaixo é verdadeiro:

1. [tex3]5y=3x+40\Rightarrow y=\frac{3x+40}{5}[/tex3]

   Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

   [tex3]5y=3x+40\Rightarrow y=\frac{3x+40}{5}[/tex3]

2. [tex3]6y=4x+40\Rightarrow y=\frac{4x+40}{6}[/tex3]

   Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

   [tex3]6y=4x+40\Rightarrow y=\frac{4x+40}{6}[/tex3]

3. [tex3]7y=5x+40\Rightarrow y=\frac{5x+40}{7}[/tex3]

   Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

   [tex3]7y=5x+40\Rightarrow y=\frac{5x+40}{7}[/tex3]

Igualando [tex3]I[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]I[/tex3]

e [tex3]II[/tex3]

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[tex3]II[/tex3]

,

[tex3]12x=18y\Rightarrow y=\frac{2x}{3}\ (III)[/tex3]

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[tex3]12x=18y\Rightarrow y=\frac{2x}{3}\ (III)[/tex3]

Se você igualar [tex3]III[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]III[/tex3]

com cada uma das 3 equações da lista, verá que a única que retorna um valor válido para [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

, a saber, 120, é a primeira.

André recebeu: [tex3]5x=5\cdot120=360[/tex3]

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[tex3]5x=5\cdot120=360[/tex3]

balas
Bruno recebeu: [tex3]4x=4\cdot120=480[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4x=4\cdot120=480[/tex3]

balas
Carlos recebeu: [tex3]6x=6\cdot120=600[/tex3]

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[tex3]6x=6\cdot120=600[/tex3]

balas

[tex3]y=\frac{2\cdot120}{3}=80[/tex3]

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[tex3]y=\frac{2\cdot120}{3}=80[/tex3]

Assim, com segunda distribuição,

André receberia: [tex3]5y=400={\color{red}360+40}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5y=400={\color{red}360+40}[/tex3]

balas
Bruno receberia: [tex3]6y=480[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]6y=480[/tex3]

balas
Carlos receberia: [tex3]7y=560[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7y=560[/tex3]

balas

[petras]

Realmente a resposta está errada.

Proporção: 5:4:3
André recebe 5/12
Bruno recebe 4/12=1/3
Carlos recebe 3/12

Nova Proporção: 7:6:5
André receberia 7/18
Bruno receberia 6/18 = 1/3
Carlos receberia 5/18

André: 5/12 - 7/18 = 1/36 receberia menos balas em relação a distribuição original
Bruno: 4/12 = 6/18 --> receberia o mesmo n. de balas
Carlos 5/18-3/12 = 1/36 receberia 40 balas a mais

Portanto 40 corresponde a 1/36 ---> Qtde de balas = 40.36 = 1440
André recebeu 5/12.1440 = 600 balas
Bruno recebeu 4/18.1440 = 480 balas
Carlos recebeu 3/12.1440 = 360 balas

Na proporção 7:6:5
André receberia 7/18.1440 = 560 balas
Bruno receberia 6/18.1440 = 480 balas
Carlos receberia 5/18.1440 = 400 balas