Olimpíadas ⇒ (OBMEP) Quantidades de balas

[ALANSILVA]

João tem cinco saquinhos de balas. Escolhendo-se, de todos os modos possíveis, quatro desses saquinhos e contando o total de suas balas, obtêm-se apenas quatro resultados: 23, 24, 26 ou 29. Qual é o maior número de balas em um saquinho?

A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12

Resposta

---

Gabarito:B

[jedi]

sendo as quantidades a, b, c, d, e
como são 4 combinações apenas temos que dois sacos tem quantias iguais, mas não sabemos qual é essa quantia repetida

[tex3]a+b+c+d=23[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+c+d=23[/tex3]

[tex3]a+b+c+e=24[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+c+e=24[/tex3]

[tex3]a+b+d+e=26[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+d+e=26[/tex3]

[tex3]a+c+d+e=29[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+c+d+e=29[/tex3]

[tex3]b+c+d+e=x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b+c+d+e=x[/tex3]

somando todas as equações

[tex3]4(a+b+c+d+e)=102+x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4(a+b+c+d+e)=102+x[/tex3]

dessa equação concluimos que 102+x tem que ser um numero divisivel por 4 lembrando que x tem que ser um dos quatro valores(23,24,26,29)

conluimos então que x=26

portanto

[tex3]4(a+b+c+d+e)=128[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4(a+b+c+d+e)=128[/tex3]

[tex3]a+b+c+d+e=32[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+c+d+e=32[/tex3]

das equações iniciais concluimos que

a-b=3 => a=b+3

c-b=3 => c=b+3

d-b=5 => d=b+5

e-b=6 => e=b+6

portanto

[tex3]b+3+b+b+3+b+5+b+6=32[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b+3+b+b+3+b+5+b+6=32[/tex3]

[tex3]5b+17=32[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5b+17=32[/tex3]

[tex3]b=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=3[/tex3]

então as quantidades são

6, 3, 6, 8, 9

a quantidade maior portanto é 9