Se mdc(k, m) = d, então ka ≡ kb (mod m) ⇔ a ≡ b (mod m/d)
Alguém sabe demonstrar esse teorema? Tentei postar esse problema na seção "Demonstrações", mas estava fechada.
Olimpíadas ⇒ Teoria dos Números - Congruências Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2017
31
23:21
Re: Teoria dos Números - Congruências
Demonstração: Como o [tex3]mdc(k,m) = dpordefinição,temos[/tex3]
[tex3]k=dk^{'},[/tex3] [tex3]m=dm^{'}[/tex3] [tex3]e[/tex3] [tex3]mdc(k^{'},m^{'})=1.[/tex3]
[tex3]ka≡kb(mod[/tex3] m)[tex3],peladefiniçãodecongruência,temos[/tex3]
[tex3]m|kb-ka\rightarrow m|k(b-a)[/tex3]
[tex3]Issoequivale,a:[/tex3]
[tex3]dm^{'}[/tex3] |d [tex3]k^{'}(b-a)⟺m^{'}|k^{'}(b-a)[/tex3]
[tex3]Comoomdc(m^{'},k^{'})=1,e[/tex3] m=[tex3]dm^{'}⟺[/tex3] m'[tex3]=\frac{m}{d},Teremos[/tex3]
[tex3]\frac{m}{d}|b-a,issoquerdizerqueb-aéummúltiplode\frac{m}{d}.Pordefinição,issoéequivalentea:[/tex3]
a≡b(mod [tex3]\frac{m}{d}[/tex3] ) [tex3]∎[/tex3]
[tex3]k=dk^{'},[/tex3] [tex3]m=dm^{'}[/tex3] [tex3]e[/tex3] [tex3]mdc(k^{'},m^{'})=1.[/tex3]
[tex3]ka≡kb(mod[/tex3] m)[tex3],peladefiniçãodecongruência,temos[/tex3]
[tex3]m|kb-ka\rightarrow m|k(b-a)[/tex3]
[tex3]Issoequivale,a:[/tex3]
[tex3]dm^{'}[/tex3] |d [tex3]k^{'}(b-a)⟺m^{'}|k^{'}(b-a)[/tex3]
[tex3]Comoomdc(m^{'},k^{'})=1,e[/tex3] m=[tex3]dm^{'}⟺[/tex3] m'[tex3]=\frac{m}{d},Teremos[/tex3]
[tex3]\frac{m}{d}|b-a,issoquerdizerqueb-aéummúltiplode\frac{m}{d}.Pordefinição,issoéequivalentea:[/tex3]
a≡b(mod [tex3]\frac{m}{d}[/tex3] ) [tex3]∎[/tex3]
Última edição: rodBR (Ter 31 Jan, 2017 23:21). Total de 1 vez.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
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