Olimpíadas(OBM - 99) Porcentagem

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Dez 2016 01 00:15

(OBM - 99) Porcentagem

Mensagem não lida por Rodriggo » Qui 01 Dez, 2016 00:15

Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 90% são amarelos e 10% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificou-se que no aquário, 75% dos peixes vivos eram amarelos. Aproximadamente, que porcentagem dos peixes amarelos morreram?
Resposta

67%
Seguinte, pessoal, o autor do livro (Marcelo Rufino) apresenta uma solução para o problema descrito, porém, não consigo entender o porquê dele utilizar alguns passos algébricos que pretendo descrever a seguir.
Solução:
Antes da doença:
Quant. inicial de peixes amarelos x
Quant. inicial de peixes vermelhos y

Equação I: x = 0,90(x+y) \rightarrow x = 0,90x + 0,10y \rightarrow 0,10x = 0,90y \rightarrow x = 9y

Depois da doença:
Quant. de peixes amarelos igual a x'
Pelo enunciado, depois da doença 75% dos peixes eram amarelos:
Equação II: x' = 0,75(x'+y) \rightarrow x' = 0,75x'+0,75y \rightarrow 0,25x' = 0,75y \rightarrow x' = 3y
Assim, o percentual de peixes amarelos que morreram é igual:
\frac{x-x'}{x}100%=\frac{9y-3y}{9y}100%=\frac{6}{9}100%=67%

Pois bem, não entendi o porquê da utilização da equação I utilizada para descrever o problema. O processo é repetido, também, na equação II.

Última edição: Rodriggo (Qui 01 Dez, 2016 00:15). Total de 1 vez.



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Coulombinho
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Dez 2016 01 04:01

Re: (OBM - 99) Porcentagem

Mensagem não lida por Coulombinho » Qui 01 Dez, 2016 04:01

Para ser sincero, a sua pergunta não fez sentido, pois se você não conseguiu entender o resultado final da primeira equação (x = 9y), então você não entendeu coisa alguma do exercício. Por isso eu irei explicar detalhadamente o que ele fez. Nossa, cara, agora que eu entendi o que você perguntou! Você se confundiu totalmente! A primeira equação calcula a quantidade de peixes amarelos inicialmente e a segunda equação calcula a quantidade de peixes amarelos no final (depois de ter acontecido a doença que matou uma parte dos peixes amarelos, ou seja, só calcula os que sobreviveram desconsiderando os que morreram). Se eu consegui responder aqui, então desconsidere o que eu escrevi.


Equação I conforme postada por você:
1. x = 0,90(x+y)
2. x = 0,90x + 0,10y
3. 0,10x = 0,90y
4. x = 9y

Equação I que seria a certa segundo eu:
1. x = 0,90(x+y)
2. x = 0,90x + 0,90y
3. 0,10x = 0,90y
4. x = 9y

Houve uma incompreensão entre a segunda e a terceira etapas dessa equação, entretanto vou considerar apenas o resultado final para explicar. Com todo respeito, mas se você não conseguiu entender a primeira equação (apesar dela estar incoerente nas partes aqui já citadas), então você não entendeu o exercício. Vou explicar o que ele fez agora.

Na primeira equação ele quis fazer uma comparação entre o número de peixes amarelos (x) e o número de peixes vermelhos (y), em outras palavras, ele igualou a quantidade de peixes amarelos (x) com a quantidade de peixes vermelhos (y). Como 90% dos peixes são amarelos e o restante (10%) são os peixes vermelhos, 9 vezes a quantidade de peixes vermelhos seria igual a quantidade de peixes amarelos. Para comprovar, é só multiplicar 10% por 9 que dará 90%. Representando tudo isso numericamente: A quantidade de peixes amarelos (x) é igual a 9 vezes a quantidade de peixes vermelhos (y), pois há 9 vezes mais peixes amarelos do que peixes vermelhos. Sendo assim, x = 9y.

Agora vamos para a segunda equação caso não tenham restado dúvidas na primeira. Observação: para ser sincero, achei o método de resolução dele muito confuso, pois eu fiz de um jeito completamente diferente (apesar de termos chegados a mesma resposta em cada equação e também a mesma resposta final). Eu fiz por regra de três e não demorei mais que 3 minutos.

Segunda Parte: Ele novamente quis igualar a quantidade de peixes amarelos com a quantidade de peixes vermelhos, mas a diferença é que uma parte dos peixes amarelos morreram, ou seja, diminuiu a concentração de peixes amarelos, pois eles morreram e isso fez com que aumentasse a porcentagem dos peixes vermelhos (apesar de que o número de peixes vermelhos se manteve a mesma quantidade que era antes). x' = quantidade de peixes amarelos depois da grande doença. Então o resultado final dele x' = 3y é na verdade uma comparação do número de peixes amarelos que sobreviveram a grande infestação com o número de peixes vermelhos. Ele igualou a incógnita (y) com a nova incógnita (x'), pois é a incógnita (y) que nós estamos usando como referência para encontrar a quantidade de peixes que morreram e também é a única que apareceu tanto na primeira equação quanto na segunda (foi a única fornecida para nós fazermos essa comparação).

E, finalmente a última equação, ele pegou a quantidade de peixes amarelos no começo, subtraiu pela quantidade no final e dividiu pela quantidade no início. Em outras palavras, ele considerou a quantidade de peixes no início (9y) como sendo 100% dos peixes amarelos (quando todos estavam vivos) e subtraiu pela quantidade no final (3y) para achar a quantidade de peixes amarelos que morreram que seria igual a 6y. O resultado já é este: "6y", mas o exercício quer esse resultado em relação a quantidade inicial. Portanto, uma simples regra de três já resolveria o problema. Como 9y seria o total de peixes, ficaria assim a relação: 9y - 100%
6y - porcentagem dos peixes amarelos que morreram

E se você fizer os cálculos, dará 66,666...% que se pode aproximar para 67%.

O que ele fez foi basicamente substituir as incógnitas que lhe apareciam. Com todo respeito, seria muito melhor se você tentasse fazer e nos mostrasse a sua resolução.

Última edição: Coulombinho (Qui 01 Dez, 2016 04:01). Total de 2 vezes.


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Re: (OBM - 99) Porcentagem

Mensagem não lida por Rodriggo » Qui 01 Dez, 2016 04:37

Cara, muito obrigado. Resposta mais detalhada que a sua: impossível.

Consegui compreender a tua resolução; a única coisa que ainda não entra na minha cabeça é como ele usou a equação "x = 0,90(x+y)" e chegou nesse resultado.
Pra mim não faz o menor sentido colocar o (x+y) como fator comum para o 0,9, entende?



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Re: (OBM - 99) Porcentagem

Mensagem não lida por Coulombinho » Qui 01 Dez, 2016 04:39

Rodriggo escreveu:Cara, muito obrigado. Resposta mais detalhada que a sua: impossível.

Consegui compreender a tua resolução; a única coisa que ainda não entra na minha cabeça é como ele usou a equação "x = 0,90(x+y)" e chegou nesse resultado.
Pra mim não faz o menor sentido colocar o (x+y) como fator comum para o 0,9, entende?
Eu tinha acabado de fazer um re-up, dá uma olhada para ver se eu respondi. Foi o método de resolução dele, rsrsrs. Eu também não entendi o porquê dele ter feito isso, só sei que o resultado final fez sentido. Provavelmente é apenas uma maneira de fazer mais fácil para ele, mas não para mim, rsrsrsrs. Eu não fiz assim, rsrsrsrs.
Última edição: Coulombinho (Qui 01 Dez, 2016 04:39). Total de 1 vez.


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Jan 2017 03 12:36

Re: (OBM - 99) Porcentagem

Mensagem não lida por Loexdramorama » Ter 03 Jan, 2017 12:36

Oi, blz?
Eu resolvi isto de outro jeito.

São 90% AMARELOS e 10% VERMELHOS. Morreram amarelos e passaram a ser 75% AMARELOS.

Chamei os NOVOS AMARELOS de x. E o total AMARELOS+VERMELHOS=X+10%.
Temos tbm que 75%=\frac{75}{100}

Então \frac{AMARELO}{AMARELO+VERMELHO}=\frac{x}{x+10}=\frac{75}{100} (Escrevi 10 no lugar de 10% pq o TEX não aceitou tá. Mas na resposta eu vou colocar o % blz?!)
Resolvendo isto vc vai encontrar x=30%.

Agora vc faz outra conta
\frac{AMARELOS MORTOS}{AMARELOS ANTES}=\frac{60}{90}=\frac{2}{3}

\frac{2}{3} é aproximadamente 0,67=\frac{67}{100}=67%

Última edição: Loexdramorama (Ter 03 Jan, 2017 12:36). Total de 1 vez.



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