Olimpíadas(Wisconsin-2002) Geometria plana Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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geobson
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(Wisconsin-2002) Geometria plana

Mensagem não lida por geobson »

Uma circunferência é traçada passando pelos vértices B e C de um triângulo ABC , e esta circunferência encontra os lados AB e AC nos pontos D e E . Se o ponto médio de BC é M e de DE é N, demonstre que DÂN=CÂM.
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Auto Excluído (ID:12031)
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Re: (Wisconsin-2002) Geometria plana

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

Como BCDE está inscrito na circunferência o ângulo

BDE = 180 - BCE
e então ADE = BCA

logo os triângulos ADE e ABC são semelhantes (pois tem os três ângulos iguais)
logo os triângulos ADN e ACM são semelhantes, pois possuem:

dois lados proporcionais: DN é proporcional a CM e AD é proporcional a AC na mesma proporção (devido a semelhança de ABC e ADE)
ângulo em comum: os ângulos entre os lados proporcionais são iguais: BCA = ADN

Por serem semelhantes possuem os ângulos todos iguais, logo DAN = CAM cqd
isso implica que as retas AN e AM são isogonais.

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sáb 15 Out, 2016 08:54). Total de 1 vez.



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geobson
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Re: (Wisconsin-2002) Geometria plana

Mensagem não lida por geobson »

Gratidão...muita gratidão!!




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