Olimpíadas

Mensagem não lidapor **geobson** » Dom 09 Out, 2016 16:17

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Assuma que AÔB é um ângulo reto . Determine uma fórmula para a área do triângulo AOD em termos de comprimentos OA= a , OB= b, OC=C , OD=d e BC= x,(gabarito=( (ad)/(4bc) ).(b² +c² -x²).

RafaeldeLima

Para facilitação chamemos:

$\alpha = A\^OD \\$

$\beta = C\^OB$

E segundo o enunciado:

$\alpha + \beta = 90^{\circ}$

Cuja consequência direta é:

$sin \ \alpha = cos \ \beta$

A área (S) do triângulo $AOD$ pode ser calculada como sendo a base*altura/2,
que equivale à expressão:

$S = \frac{a.d}{2}.sin \alpha$

Utilizando a lei dos cossenos para o ângulo $C\^OB$ :

$x^{2} = b^{2} + c^{2} - 2.b.c.cos\beta$

E portanto:

$cos\beta = \frac{b^{2} + c^{2}-x^{2}}{2.b.c}$

Como $sin \ \alpha = cos \ \beta$ :

$S = \frac{a.d}{2}(\frac{b^{2} + c^{2}-x^{2}}{2bc})$

$\boxed{S = \frac{ad}{4bc}.(b^{2} + c^{2}-x^{2})}$

Mensagem não lidapor **geobson** » Dom 20 Mar, 2022 19:52

RafaeldeLima, obrigado!

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