Olimpíadas

jade · Mensagem não lida por **jade** » Sáb 03 Set, 2016 12:19

12) Dado um real $x$ , sua parte inteira $[x]$ é o maior inteiro menor ou igual a $x$ e sua parte fracionária é dada por $\{x\}=x-[x]$ Quantas soluções tem a equação [tex3][x]-2016\{x\}=38[/tex3] ?
A) 11 B) 36 C) 1008 D) 2016 E) 2017

Acredito que você queira uma resolução diferente da que a banca coloca no site. Segue a maneira que eu resolvi quando fiz a prova no dia, não tanto diferente.

Façamos $x=a+\frac{b}{2016}$ , com $a \in \mathbb{Z}$ , mas não necessariamente b. Além disso, veja que $0\leq b \leq 2015$ , pois caso fosse maior, a fração poderia ser reescrita como $a+1+\frac{b'}{2016}=a'+\frac{b'}{2016}$
Então $[x]=a$ e $\{x \}=\frac{b}{2016}$
Substituindo na equação, obtemos:
$a-b=38 \rightarrow a=38+b$
Como $a \in \mathbb{Z}$ e 38 também, concluimos que $b \in \mathbb{Z}$ também.
Substituindo na equação de x:
$x=38+b+\frac{b}{2016}$
Agora fica fácil de ver que temos tantos valores possiveis para x quanto temos para b, e isso já foi indicado lá em cima, com o intervalo. Restava verificar que b deve ser inteiro também para tornar o intervalo contável. Veja que de 0 até 2015 (inclusive) temos 2016 possibilidades inteiras. Concluímos então que há 2016 soluções para a equação.

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