Olimpíadas ⇒ (AIME - 1994) Geometria Plana Tópico resolvido

[Gu178]

O círculo maior possui diâmetro 40 e o círculo menor diâmetro 10. Eles tangenciam em P. PQ é um diâmetro do círculo menor. ABCD é um quadrado tangenciando o círculo menor em Q. Determine AB.

IMG_20160720_153335894.jpg (36.44 KiB) Exibido 1398 vezes

Resposta

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31

[VALDECIRTOZZI]

Olhe, eu estive olhando a fonte desse problema e o enunciado é o mais ou menos o seguinte:
Um círculo de diâmetro PQ cujo valor é 10 é tangente internamente em P a um círculo de raio 20. O quadrado ABCD é construído internamente ao círculo maior com A e B sobre este círculo.
CD é tangente ao círculo menor em Q e este círculo está externo a ABCD. O comprimento AB pode ser escrito na forma [tex3]m+\sqrt n[/tex3]

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[tex3]m+\sqrt n[/tex3]

, onde [tex3]m \ e \ n[/tex3]

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[tex3]m \ e \ n[/tex3]

são inteiros. Encontre [tex3]m+n[/tex3]

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[tex3]m+n[/tex3]

.

circunferência tangente.jpg (20.54 KiB) Exibido 1391 vezes

Note que [tex3]\overline{PO}[/tex3]

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[tex3]\overline{PO}[/tex3]

é o raio da circunferência maior e mede 20.
[tex3]\overline{PQ}[/tex3]

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[tex3]\overline{PQ}[/tex3]

é o diâmetro da circunferência menor e mede 10.
Portanto:
[tex3]\overline{QO}=\overline{PO}-\overline{PQ}[/tex3]

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[tex3]\overline{QO}=\overline{PO}-\overline{PQ}[/tex3]

[tex3]\overline{QO}=20-10=10[/tex3]

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[tex3]\overline{QO}=20-10=10[/tex3]

Se o quadrado ABCD tem lado [tex3]\ell[/tex3]

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[tex3]\ell[/tex3]

, então:
[tex3]\overline{OF}=\ell-10[/tex3]

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[tex3]\overline{OF}=\ell-10[/tex3]

Note que [tex3]\Delta AFO[/tex3]

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[tex3]\Delta AFO[/tex3]

é retângulo em F, aplicando o Teorema de Pitágotas:
[tex3]\left(\overline{AO}\right)^2=\left(\overline{OF}\right)^2+\left(\overline{AF}\right)^2[/tex3]

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[tex3]\left(\overline{AO}\right)^2=\left(\overline{OF}\right)^2+\left(\overline{AF}\right)^2[/tex3]

[tex3]20^2=\left(\ell-10\right)^2+\left(\frac{\ell}{2}\right)^2[/tex3]

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[tex3]20^2=\left(\ell-10\right)^2+\left(\frac{\ell}{2}\right)^2[/tex3]

[tex3]400=\ell^2-20 \ell+100-\frac{\ell^2}{4}[/tex3]

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[tex3]400=\ell^2-20 \ell+100-\frac{\ell^2}{4}[/tex3]

[tex3]5\ell^2-80\ell-1.200=0[/tex3]

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[tex3]5\ell^2-80\ell-1.200=0[/tex3]

[tex3]\ell^2-16\ell-240=0[/tex3]

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[tex3]\ell^2-16\ell-240=0[/tex3]

[tex3]\Delta =(-16)^2-4 \cdot 1 \cdot 240=1.216[/tex3]

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[tex3]\Delta =(-16)^2-4 \cdot 1 \cdot 240=1.216[/tex3]

[tex3]\ell=\frac{-(-16)\pm \sqrt{1.216}}{2}=\frac{16\pm \sqrt{4 \cdot 304}}{2}=\frac{16\pm 2 \sqrt{304}}{2}=8\pm \sqrt{304}[/tex3]

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[tex3]\ell=\frac{-(-16)\pm \sqrt{1.216}}{2}=\frac{16\pm \sqrt{4 \cdot 304}}{2}=\frac{16\pm 2 \sqrt{304}}{2}=8\pm \sqrt{304}[/tex3]

Descartando a raiz negativa temos que:
[tex3]m=8 \ e \ n=304[/tex3]

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[tex3]m=8 \ e \ n=304[/tex3]

[tex3]m+n=8+304=312[/tex3]

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[tex3]m+n=8+304=312[/tex3]

Espero ter ajudado!