Olimpíadas(AIME - 1994) Geometria Plana Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Gu178
Veterano
Mensagens: 260
Registrado em: Ter 12 Ago, 2014 18:55
Última visita: 14-03-21
Jul 2016 20 15:40

(AIME - 1994) Geometria Plana

Mensagem não lida por Gu178 »

O círculo maior possui diâmetro 40 e o círculo menor diâmetro 10. Eles tangenciam em P. PQ é um diâmetro do círculo menor. ABCD é um quadrado tangenciando o círculo menor em Q. Determine AB.
IMG_20160720_153335894.jpg
IMG_20160720_153335894.jpg (36.44 KiB) Exibido 1357 vezes
Resposta

31

Última edição: Gu178 (Qua 20 Jul, 2016 15:40). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
VALDECIRTOZZI
5 - Mestre
Mensagens: 2569
Registrado em: Seg 04 Ago, 2008 17:08
Última visita: 13-10-20
Jul 2016 21 08:56

Re: (AIME - 1994) Geometria Plana

Mensagem não lida por VALDECIRTOZZI »

Olhe, eu estive olhando a fonte desse problema e o enunciado é o mais ou menos o seguinte:
Um círculo de diâmetro PQ cujo valor é 10 é tangente internamente em P a um círculo de raio 20. O quadrado ABCD é construído internamente ao círculo maior com A e B sobre este círculo.
CD é tangente ao círculo menor em Q e este círculo está externo a ABCD. O comprimento AB pode ser escrito na forma [tex3]m+\sqrt n[/tex3] , onde [tex3]m \ e \ n[/tex3] são inteiros. Encontre [tex3]m+n[/tex3] .
circunferência tangente.jpg
circunferência tangente.jpg (20.54 KiB) Exibido 1350 vezes
Note que [tex3]\overline{PO}[/tex3] é o raio da circunferência maior e mede 20.
[tex3]\overline{PQ}[/tex3] é o diâmetro da circunferência menor e mede 10.
Portanto:
[tex3]\overline{QO}=\overline{PO}-\overline{PQ}[/tex3]
[tex3]\overline{QO}=20-10=10[/tex3]
Se o quadrado ABCD tem lado [tex3]\ell[/tex3] , então:
[tex3]\overline{OF}=\ell-10[/tex3]

Note que [tex3]\Delta AFO[/tex3] é retângulo em F, aplicando o Teorema de Pitágotas:
[tex3]\left(\overline{AO}\right)^2=\left(\overline{OF}\right)^2+\left(\overline{AF}\right)^2[/tex3]
[tex3]20^2=\left(\ell-10\right)^2+\left(\frac{\ell}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]400=\ell^2-20 \ell+100-\frac{\ell^2}{4}[/tex3]
[tex3]5\ell^2-80\ell-1.200=0[/tex3]
[tex3]\ell^2-16\ell-240=0[/tex3]
[tex3]\Delta =(-16)^2-4 \cdot 1 \cdot 240=1.216[/tex3]
[tex3]\ell=\frac{-(-16)\pm \sqrt{1.216}}{2}=\frac{16\pm \sqrt{4 \cdot 304}}{2}=\frac{16\pm 2 \sqrt{304}}{2}=8\pm \sqrt{304}[/tex3]

Descartando a raiz negativa temos que:
[tex3]m=8 \ e \ n=304[/tex3]
[tex3]m+n=8+304=312[/tex3]

Espero ter ajudado!

Última edição: MateusQqMD (Sáb 28 Mar, 2020 12:18). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3.


So many problems, so little time!

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (Aime-95) Geometria Plana
    por Hollo » » em Pré-Vestibular
    6 Respostas
    884 Exibições
    Última msg por geobson
  • Nova mensagem (AIME) Fatoração
    por Deleted User 23699 » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    823 Exibições
    Última msg por NigrumCibum
  • Nova mensagem (AIME) Fatoração
    por Deleted User 23699 » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    805 Exibições
    Última msg por Ittalo25
  • Nova mensagem (AIME) Polinômios
    por Deleted User 23699 » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    779 Exibições
    Última msg por Ittalo25
  • Nova mensagem (AIME) Polinômios
    por Deleted User 23699 » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    758 Exibições
    Última msg por Ittalo25

Voltar para “Olimpíadas”