Olimpíadas

Suponha n ≥ 4 e seja S um conjunto finito de pontos no espaço 3, de maneira que quaisquer quatro de seus pontos não sejam coplanares. Suponha que todos os pontos de S podem ser coloridos de vermelho e azul de modo que qualquer esfera que intersecte S em ao menos 4 pontos tenha a propriedade de que exatamente a metade dos pontos na interseção de S com a esfera é azul. Prove que todos os pontos de S encontram-se numa esfera.

Mensagem não lidapor **leozitz** » Seg 06 Fev, 2023 19:40

rascunho, importante pq traz intuição para chegar a solução

Resposta

obs: o rascunho não foi revisado então pode conter erros

vou provar que tem uma esfera com n/2 pontos da cor azul (note que n tem que ser par, se n for ímpar o problema dá errado)

de todas as [tex3]\binom{n}{4}[/tex3] esferas, vamos considerar a com mais pontos da cor azul
se todos os pontos da cor azul estão nela o problema acabou, se não, matem 2 da cor azul pega um azul de fora
// note que se eu for mudado de esfera eu consigo gerar pontos, talvez tentar usar isso
se metade é azul, então a outra metade é vermelha, com isso eu posso supor sem perda de generalidade que eu tenho pelo menos n/2 pontos da cor azul
imagina que eu tenho uma esfera com 3 pontos da cor azul, com isso eu consigo gerar 3 pontos da cor vermelha, se eu manter 2 desses pontos e pegar outros outra esfera eu consigo gerar novos pontos vermelhos usando poucos pontos da cor azul, essa vai ser a ideia, vamos deixar ela rigorosa.

por hora vamos supor n >= 8, o caso n = 4 é trivial e o caso n = 6 a gente faz depois.
como n >= 8, tenho garantido pelo menos 4 pontos da cor azul, com isso define uma esfera, no caso n = 8 exatamente isso já resolve o problema, então vamos supor que gente tem n > 8 e supor por absurdo que tem ponto azul que ainda não está nessa esfera, se todo ponto azul estiver na mesma esfera o problema acaba pq dai a gente tem pelo menos n/2 vermelhos, que também estão nela, ou seja, todos os pontos.
digamos que a maior esfera tenha x pontos da cor azul, com isso a gente tem pelo menos x pontos da cor vermelha, vamos ficar 2 desses pontos da cor azul, depois disso a gente consegue

digamos que a gente tem m esferas e na esfera de número i a gente [tex3]z_i[/tex3] pontos da cor azul nela
[tex3]\text{quantidade de pontos da cor azul} = z_1 + z_2 + ... + z_m \ge \frac{n}{2}[/tex3]

4 pontos não coplanares no espaço definem uma esfera, pega 3 deles, eles forma um circulo, com isso o centro da esfera fica sobre uma reta (perpendicular ao plano desses 3 que passa pelo centro dessa circunferencia), ai usa o 4º ponto para determinar onde fica o centro da esfera,
se eu pegar 4 pontos vermelhos então eu vou precisar ter 2 azuis alem desses 4 vermelhos nessa mesma esfera.
suponha sem perda de generalidade que temos pelo menos n/2 pontos da cor azul.

como estamos supondo n > 8, temos pelos menos 4 pontos da cor azul, suponha que nem todo ponto da cor azul esteja na mesma esfera, caso contrário o problema acaba.
vamos dizer que a esfera com a maior quantidade de pontos da cor azul, vamos chamar essa esfera de [tex3]\star[/tex3] para facilitar, tenha z pontos da cor azul, desta forma sobram pelo menos [tex3]\frac{n}{2} - z[/tex3] pontos da cor azul fora dessa esfera, vamos criar novas esferas fixando 3 pontos da esfera [tex3]\star[/tex3] , note que com isso eu consigo pelo menos [tex3]z + 3k + \sum_{i=0}^kz_i\ge z + 3k + \frac{n}{2}-z[/tex3] pontoos da cor vermelha, onde k é a quantidade de esferas que eu consigo criar fixados esses 3 pontos e z_i é quantidade de pontos da cor azul que não vem da esfera [tex3]\star[/tex3]
como a gente está supondo por absurdo que nem todo ponto azul está na mesma esfera k > 0 então a gente vai ter que [tex3]n = azul + vermelho > \frac{n}{2} + \frac{n}{2}+3k> n[/tex3] que é um absurdo

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