Olimpíadas(Bulgária - 2011) Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Autor do Tópico
futuromilitar
1 - Trainee
Mensagens: 735
Registrado em: Sáb 14 Mai, 2016 12:01
Última visita: 04-03-22
Localização: Ceará
Jun 2016 03 14:55

(Bulgária - 2011)

Mensagem não lida por futuromilitar »

Existe matriz real [tex3]A_{3,3}[/tex3] tal que tr(A) = 0 e [tex3]A^{2} + A^{t}[/tex3] = I?

Última edição: futuromilitar (Sex 03 Jun, 2016 14:55). Total de 1 vez.


''Se você perdeu dinheiro, perdeu pouco. Se perdeu a honra, perdeu muito. Se perdeu a coragem, perdeu tudo.'' (Van Gogh)

Autor do Tópico
futuromilitar
1 - Trainee
Mensagens: 735
Registrado em: Sáb 14 Mai, 2016 12:01
Última visita: 04-03-22
Localização: Ceará
Jun 2016 10 18:20

Re: (Bulgária - 2011)

Mensagem não lida por futuromilitar »

up



''Se você perdeu dinheiro, perdeu pouco. Se perdeu a honra, perdeu muito. Se perdeu a coragem, perdeu tudo.'' (Van Gogh)

Avatar do usuário
Helo
Junior
Mensagens: 19
Registrado em: Ter 16 Jun, 2015 17:51
Última visita: 11-08-17
Ago 2016 24 18:13

Re: (Bulgária - 2011)

Mensagem não lida por Helo »

Ele diz que tr(A)=0 e A^2+A^t=I

Fazendo a transposição, temos:

A=I-(A^2)^t=I-(A^t)^2=I-(I-A^2)^2=2A^2-A^4

Ou seja:

A^4-2A^2+A=0

Temos um polinômio:

x^4-2x^2+x=x(x-1)(x^2+x-1)

As raízes são:

0,1,\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}

Estes números são os valores de A.

E os valores próprios de A^2 podem ser 0,1,\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}

De tr(A)=0 a soma dos valores é 0.

E de tr(A^2)=tr(I-A^t)=3

A soma dos quadrados dos valores é 3.

Com isso, é fácil perceber que essas duas condições não podem ser satisfeitas simultaneamente.

Última edição: Helo (Qua 24 Ago, 2016 18:13). Total de 1 vez.



Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (Bulgária) Trigonometria
    por Deleted User 23699 » » em Olimpíadas
    3 Respostas
    982 Exibições
    Última msg por Ittalo25
  • Nova mensagem (Bulgária) Equação
    por AngelitaB » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    715 Exibições
    Última msg por AnthonyC
  • Nova mensagem (Bulgária) Equação
    por AngelitaB » » em Olimpíadas
    2 Respostas
    794 Exibições
    Última msg por Tassandro
  • Nova mensagem (Bulgária) Funções
    por SkyWalker17 » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    457 Exibições
    Última msg por rcompany
  • Nova mensagem (Bulgária) Estudo de funções
    por SkyWalker17 » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    414 Exibições
    Última msg por rcompany

Voltar para “Olimpíadas”