Olimpíadas

cicero444

Considere todos os numeros naturais de quatro algarismos [tex3]a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}[/tex3] , cujo quadrado tenha sete algarismos [tex3]b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}b_{6}b_{7}[/tex3] tais que [tex3]b_{1} = a_{1}^{2}[/tex3]
, [tex3]b_{2}[/tex3] = 2 [tex3]a_{2}[/tex3] , [tex3]b_{3}[/tex3] = 2 [tex3]a_{3}[/tex3] , [tex3]b_{4}[/tex3] = 2 [tex3]a_{4}[/tex3] e [tex3]b_{5}b_{6}b_{7}[/tex3] =,
[tex3](a_{2}a_{3}a_{4})^{2}[/tex3] . Por exemplo, 1024 tem esse formato, uma vez que [tex3]1024^{2}[/tex3] = 1048576, ou seja, [tex3]a_{1}[/tex3] = 1, [tex3]a_{2}[/tex3] =0, [tex3]a_{3}[/tex3] = 2, [tex3]a_{4}[/tex3] = 4 e [tex3]b_{1} = (a_{1})^{2}[/tex3] = 1, [tex3]b_{2}[/tex3] = 2 [tex3]a_{2}[/tex3] = 0, [tex3]b_{3}[/tex3] = 2 [tex3]a_{3}[/tex3] = 4, [tex3]b_{4}[/tex3] = 2 [tex3]a_{4}[/tex3] = 8 e [tex3]b_{5}b_{6}b_{7}[/tex3] =[tex3](a_{2}a_{3}a_{4})^{2}[/tex3] =
[tex3](024)^{2}[/tex3] = 576.
Quantos números possuem esta propriedade?

Primeira parte:

De $b_1 = a_1^2$ já restringe em 3 opções:

$\begin{cases} a_1=1\rightarrow b_1 = 1 \\ a_1=2\rightarrow b_1 = 4 \\ a_1=3\rightarrow b_1 = 9 \end{cases}$

De $b_2 = 2a_2$ , $b_3 = 2a_3$ , $b_4 = 2a_4$ já restringe que:

$0\leq a_2, a_3, a_4 \leq 4$

De $\overline{b_{5}b_{6}b_{7}} = (\overline{a_{2}a_{3}a_{4}})^{2}$ vem que:

$100b_5 + 10b_6 + b_7 = (100a_2+10a_3+a_4)^2$
$100b_5 + 10b_6 + b_7 = 10000a_2^2+2000a_2\cdot a_3 + 200a_2 +100a_3^2+20a_3\cdot a_4 + a_4^2$

Disso fica óbvio que: $a_2 = 0$ , seguindo:

$100b_5 + 10b_6 + b_7 = 100a_3^2+20a_3\cdot a_4 + a_4^2$
$100b_5 + 10b_6 + b_7 = (10a_3+a_4)^2$

Como o lado esquerdo tem apenas 3 dígitos, fica restringido que:

$0 \leq 10a_3+a_4\leq 31$

$a_3$ não pode ser 4.

Se $a_3 = 3\rightarrow a_4 = 0,1$
Se $a_3 = 2\rightarrow a_4 = 0,1,2,3,4$
Se $a_3 = 1\rightarrow a_4 = 0,1,2,3,4$
Se $a_3 = 0\rightarrow a_4 = 0,1,2,3,4$

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Segunda parte:

Expandindo e lembrando que $a_2 = b_2 = 0$ e também que $100b_5 + 10b_6 + b_7 = (10a_3+a_4)^2$ e também que $b_1 = a_1^2$ :

$(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}})^2 = \overline{b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}b_{6}b_{7}}$

$(10^3a_1 + 10a_3 + a_4)^2 = 10^6b_{1}+10^4b_{3}+10^3b_{4}+10^2b_{5}+10 b_{6}+b_{7}$

$10^4\cdot 2a_3 a_1+ 10^3\cdot 2a_4 a_1+10^2\cdot a_3^2+10\cdot 2a_3a_4+a_4^2=10^4b_{3}+10^3b_{4}+10^2b_{5}+10 b_{6}+b_{7}$

$10^4\cdot 2a_3 a_1+ 10^3\cdot 2a_4 a_1=10^4\cdot 2a_3+10^3\cdot 2a_{4}$

Daí: $a_1= 1$ ou $a_3= a_4 = 0$ , neste último caso o $a_1= 1,2,3$

Os números ficam:

$\begin{cases} 1030 \\ 1031 \\ 1020 \\ 1021 \\ 1022 \\ 1023 \\ 1024 \\ 1010 \\ 1011 \\ 1012\\ 1013 \\ 1014 \\ 1000 \\ 1001 \\ 1002 \\ 1003 \\ 1004 \\ 1000 \\ 2000 \\ 3000 \\ \end{cases}$

20 Números

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