Olimpíadas ⇒ Expressões Algébricas Tópico resolvido

[vini_scien]

Ola a todos.

Se [tex3]a+b+c = 0,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+c = 0,[/tex3]

com [tex3]a,\, b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a,\, b[/tex3]

e [tex3]c\neq 0,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c\neq 0,[/tex3]

obtenha o valor da expressão:

• [tex3]E = \left( \Large\frac{a-b}{c}\large + \Large\frac{b-c}{a}\large + \Large\frac{c-a}{b}\large\right)\cdot\left( \Large\frac{c}{a-b}\large + \Large\frac{a}{b-c}\large + \Large\frac{b}{c-a}\large\right)[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]E = \left( \Large\frac{a-b}{c}\large + \Large\frac{b-c}{a}\large + \Large\frac{c-a}{b}\large\right)\cdot\left( \Large\frac{c}{a-b}\large + \Large\frac{a}{b-c}\large + \Large\frac{b}{c-a}\large\right)[/tex3]

[matbatrobin]

[tex3]E=[\frac{bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)}{abc}]\cdot [\frac{a(a-b)(c-a)+b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} ][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]E=[\frac{bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)}{abc}]\cdot [\frac{a(a-b)(c-a)+b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} ][/tex3]

Desenvolvendo [tex3]bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)[/tex3]

temos:

[tex3]a^2b-ab^2-ca^2+c^2a+b^2c-bc^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2b-ab^2-ca^2+c^2a+b^2c-bc^2[/tex3]

Desencolvendo [tex3](a-b)(b-c)(c-a)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-b)(b-c)(c-a)[/tex3]

temos

[tex3]{-}a^2b+ {ab^2}{-}b^2 c+b c^2{-}c^2 a+{ca^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{-}a^2b+ {ab^2}{-}b^2 c+b c^2{-}c^2 a+{ca^2}[/tex3]

Então re-organizando temos :

[tex3]E=[\frac{a(a-b)(c-a)+b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)}{abc}]\cdot [\frac{(-1)\cdot ({-}a^2b+ {ab^2}{-}b^2 c+b c^2{-}c^2 a+{ca^2})}{{-}a^2b+ {ab^2}{-}b^2 c+b c^2{-}c^2 a+{ca^2}}] \\ E=(-1)\,\cdot \,[\frac{a(a-b)(c-a)+b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)}{abc}][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]E=[\frac{a(a-b)(c-a)+b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)}{abc}]\cdot [\frac{(-1)\cdot ({-}a^2b+ {ab^2}{-}b^2 c+b c^2{-}c^2 a+{ca^2})}{{-}a^2b+ {ab^2}{-}b^2 c+b c^2{-}c^2 a+{ca^2}}] \\ E=(-1)\,\cdot \,[\frac{a(a-b)(c-a)+b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)}{abc}][/tex3]

Na equação do texto obtemos o seguinte: [tex3]a=-b-c,\,\,b=-a-c,\,\,c=-a-b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=-b-c,\,\,b=-a-c,\,\,c=-a-b[/tex3]

, logo

[tex3](-1)\,\cdot \,[\frac{(-b-c)(a-b)(c-a)+(-a-c)(b-c)(a-b)+(-a-b)(c-a)(b-c)}{abc}][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-1)\,\cdot \,[\frac{(-b-c)(a-b)(c-a)+(-a-c)(b-c)(a-b)+(-a-b)(c-a)(b-c)}{abc}][/tex3]

Desenvolvendo e somando os termos temos:

[tex3](-1)\,\cdot \,(\frac{-6abc+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2}{abc})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-1)\,\cdot \,(\frac{-6abc+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2}{abc})[/tex3]

Só que se desenvolvermos [tex3](a+b)(b+c)(c+a)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b)(b+c)(c+a)[/tex3]

obtemos [tex3]a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc[/tex3]

, logo o numerador da nossa fração é [tex3](a+b)(b+c)(c+a)-8abc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b)(b+c)(c+a)-8abc[/tex3]

, então fica:

[tex3]E=(-1)\,\cdot \,[\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\,-8][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]E=(-1)\,\cdot \,[\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\,-8][/tex3]

, porém de novo da equação do texto temos: [tex3]a=-b-c,\,\,c=-b-a,\,\,b=-a-c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=-b-c,\,\,c=-b-a,\,\,b=-a-c[/tex3]

Substituindo:

[tex3]E=(-1)\,\cdot \,[\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc} -8] \\ E=(-1)(-1-8)=9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]E=(-1)\,\cdot \,[\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc} -8] \\ E=(-1)(-1-8)=9[/tex3]

Resposta: E=9

Confere aí para mim falou!

[matbatrobin]

É tá certo, o triplebig achou a resolução do professor Onofre Campos, onde ele prova que aquilo vale 9, aqui está: http://www.obm.org.br/opencms/revista_eureka/ nº27 página 35 (a página está com problema só passa o arquivo no formato DOC(zip)), é bom que tem mais uma resolução para você conferir.