Olimpíadas ⇒ (OBM) Infinitas soluções
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2016
08
10:33
(OBM) Infinitas soluções
(OBM) Mostre que a equação
tem infinitas soluções onde .
Última edição: diogopfp (Sex 08 Jan, 2016 10:33). Total de 1 vez.
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Jan 2016
08
16:49
Re: (OBM) Infinitas soluções
Fixemos x e y, obtendo uma equação de segundo grau em z:
Seja a terna (a,b,c) solução da equação, então se fizermos:
Devemos obter dois possíveis valores para z. Veja que já afirmamos que c é solução, como a equação é de segundo grau, ela possui duas raízes e a soma dessas raízes é . É fácil ver que, então, a segunda solução é
Opa, então pera aí, encontramos outra terna (a,b,3ab-c) que também é solução. (Analogamente, podemos fazer o processo fixando x e z, para obter solução em y e o mesmo para x, então também podemos obter ternas (3bc-a,b,c) e (a,3ac-b))
É fácil ver que (1,1,1) é solução trivial, então pelo que descobrimos (1,1,2) também será. Isso é só um exemplo aplicando a descoberta.
Acho que isso já basta para provar que existem infinitas soluções, pois agora supomos que a terna (a,3ab-c,b) seja solução. Faremos a substituição k = 3ab-c, então (a,k,b) é solução. Repetindo o processo:
3ak é a soma das raízes, b já é uma raiz, então 3ak-b é também. Desfazendo a substituição, temos , e a terna (a,3ab-c, ) é solução.
Tomando a solução trivial (1,1,1), obtemos a solução (1,2,5), que de fato satisfaz.
Resumindo, podemos encontrar infinitas soluções através da seguinte iteração:
1- Fixa-se duas das três variáveis da equação, x e y por exemplo
2- Pegamos uma solução (a,b,c) e encontramos uma outra (a,b,3ab-c).
3- Trocamos de "posição" os valores da terna (porque ela não é ordenada) e obtemos, por exemplo, (a,3ab-c,b)
4- Repete-se 2 mas agora tomando a solução obtida ao trocar de posição os valores da terna.
Seja a terna (a,b,c) solução da equação, então se fizermos:
Devemos obter dois possíveis valores para z. Veja que já afirmamos que c é solução, como a equação é de segundo grau, ela possui duas raízes e a soma dessas raízes é . É fácil ver que, então, a segunda solução é
Opa, então pera aí, encontramos outra terna (a,b,3ab-c) que também é solução. (Analogamente, podemos fazer o processo fixando x e z, para obter solução em y e o mesmo para x, então também podemos obter ternas (3bc-a,b,c) e (a,3ac-b))
É fácil ver que (1,1,1) é solução trivial, então pelo que descobrimos (1,1,2) também será. Isso é só um exemplo aplicando a descoberta.
Acho que isso já basta para provar que existem infinitas soluções, pois agora supomos que a terna (a,3ab-c,b) seja solução. Faremos a substituição k = 3ab-c, então (a,k,b) é solução. Repetindo o processo:
3ak é a soma das raízes, b já é uma raiz, então 3ak-b é também. Desfazendo a substituição, temos , e a terna (a,3ab-c, ) é solução.
Tomando a solução trivial (1,1,1), obtemos a solução (1,2,5), que de fato satisfaz.
Resumindo, podemos encontrar infinitas soluções através da seguinte iteração:
1- Fixa-se duas das três variáveis da equação, x e y por exemplo
2- Pegamos uma solução (a,b,c) e encontramos uma outra (a,b,3ab-c).
3- Trocamos de "posição" os valores da terna (porque ela não é ordenada) e obtemos, por exemplo, (a,3ab-c,b)
4- Repete-se 2 mas agora tomando a solução obtida ao trocar de posição os valores da terna.
Última edição: undefinied3 (Sex 08 Jan, 2016 16:49). Total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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