Olimpíadas(OBM) Infinitas soluções

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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diogopfp
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(OBM) Infinitas soluções

Mensagem não lida por diogopfp »

(OBM) Mostre que a equação x^2+y^2+z^2=3xyz tem infinitas soluções onde x,y,z\in\mathbb{Z}.

Última edição: diogopfp (Sex 08 Jan, 2016 10:33). Total de 1 vez.



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undefinied3
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Re: (OBM) Infinitas soluções

Mensagem não lida por undefinied3 »

Fixemos x e y, obtendo uma equação de segundo grau em z:
x^2+y^2+z^2=3xyz \rightarrow z^2 - 3xyz + (x^2+z^2)=0
Seja a terna (a,b,c) solução da equação, então se fizermos:
z^2-3abz+(a^2+b^2)=0
Devemos obter dois possíveis valores para z. Veja que já afirmamos que c é solução, como a equação é de segundo grau, ela possui duas raízes e a soma dessas raízes é 3ab. É fácil ver que, então, a segunda solução é 3ab-c
Opa, então pera aí, encontramos outra terna (a,b,3ab-c) que também é solução. (Analogamente, podemos fazer o processo fixando x e z, para obter solução em y e o mesmo para x, então também podemos obter ternas (3bc-a,b,c) e (a,3ac-b))
É fácil ver que (1,1,1) é solução trivial, então pelo que descobrimos (1,1,2) também será. Isso é só um exemplo aplicando a descoberta.
Acho que isso já basta para provar que existem infinitas soluções, pois agora supomos que a terna (a,3ab-c,b) seja solução. Faremos a substituição k = 3ab-c, então (a,k,b) é solução. Repetindo o processo:
z^2-3akz+(a^2+k^2)=0
3ak é a soma das raízes, b já é uma raiz, então 3ak-b é também. Desfazendo a substituição, temos 3a(3ab-c)-b = 9a^2b-3ac-b, e a terna (a,3ab-c,9a^2b-3ac-b) é solução.
Tomando a solução trivial (1,1,1), obtemos a solução (1,2,5), que de fato satisfaz.
Resumindo, podemos encontrar infinitas soluções através da seguinte iteração:
1- Fixa-se duas das três variáveis da equação, x e y por exemplo
2- Pegamos uma solução (a,b,c) e encontramos uma outra (a,b,3ab-c).
3- Trocamos de "posição" os valores da terna (porque ela não é ordenada) e obtemos, por exemplo, (a,3ab-c,b)
4- Repete-se 2 mas agora tomando a solução obtida ao trocar de posição os valores da terna.

Última edição: undefinied3 (Sex 08 Jan, 2016 16:49). Total de 1 vez.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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