Olimpíadas

(EUA) Determine o número de soluções inteiras da equação:

$2^{2x}-3^{2y}=55$

Até consegui fazer, o problema é que vi uma solução dizendo que x e y são positivos e pede-se para provar, como fazer isso?! basta admitir x e y negativos e chegar a um absurdo?!

$(2^x+3^y)(2^x-3^y)=55$
55 = 55*1 ou 5*11 ou -5*(-11) ou -1*(-55)
Obviamente $2^x+3^y > 2^x-3^y$ , então o lado esquerdo da desigualdade deve ser o maior fator.
$\begin{cases} 2^x+3^y=55 \\ 2^x-3^y=1 \end{cases}$
$2^x=28$ Sem solução inteira
$\begin{cases} 2^x+3^y=11 \\ 2^x-3^y=5 \end{cases}$
$2^x=8 \rightarrow x=3$
$8-3^y=5 \rightarrow y=1$
Os outros casos não precisam ser analisados, pois não há como uma soma de dois fatores positivos resultar em um negativo quando trabalhamos nos inteiros.
Não há solução com x e y negativos, isso já não é o suficiente para provar o que está dizendo?

Creio que sim,

a questão é que toda vez que vejo em um texto essa afirmação penso se tratar de algo formal, com hipótese, tese e demonstração, nesse caso, que fosse preciso usar as propriedades de potência:

$a^{-x}=1/a^x$

Capiche?

Acho que pode ser. Por exemplo:
$2 > 1 \rightarrow \frac{1}{2} < 1 \rightarrow \frac{1}{2^{2a}} < 1$
$3 > 1 \rightarrow \frac{1}{3} < 1 \rightarrow \frac{1}{3^{2b}} < 1$
$\frac{1}{2^{2a}} - \frac{1}{3^{2b}} < 0$
$2^{-2a}-3^{-2b} < 0$
$\therefore 2^{2x} - 3^{3y} < 0$ para todo x e y ambos negativos.
Também é fácil ver que, se apenas x for negativo, então o resultado também será menor que zero pois a parte negativa sempre será maior que a positiva. Além disso, para apenas y negativo, temos que a parte negativa nunca será inteira, mas a positiva sim, essa subtração não tem como resultar em um inteiro.

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