Olimpíadas(Ibero) Função Composta Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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gabrielifce
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Mai 2015 06 00:03

(Ibero) Função Composta

Mensagem não lida por gabrielifce » Qua 06 Mai, 2015 00:03

Ache todas as [tex3]f[/tex3] tais que [tex3][f(x)]^{2}\cdot f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=64x[/tex3] , para todo [tex3]x[/tex3] distinto de [tex3]0[/tex3] , [tex3]1[/tex3] e [tex3]-1[/tex3] .
Resposta

4[tex3]\sqrt[3]{\frac{x^{2}(1+x)}{1-x}}[/tex3]

Última edição: caju (Sex 05 Jan, 2018 20:16). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3


Incrível.

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gabrielifce
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Mai 2015 14 17:05

Re: (Ibero) Função Composta

Mensagem não lida por gabrielifce » Qui 14 Mai, 2015 17:05

Suba



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Ittalo25
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Jan 2018 05 13:41

Re: (Ibero) Função Composta

Mensagem não lida por Ittalo25 » Sex 05 Jan, 2018 13:41

Substituindo: [tex3]\frac{1-x}{1+x}[/tex3] por [tex3]x[/tex3]

[tex3] \[f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\]^2 \cdot f(x) = \frac{64-64x}{1+x} [/tex3]

Multiplicando pela expressão do enunciado:

[tex3] \[f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\]^3 \cdot f(x)^3 = 64x \cdot \left(\frac{64-64x}{1+x}\right) [/tex3]

[tex3] \left(\frac{64x}{[f(x)]^2}\right)^3 \cdot f(x)^3 = 64x \cdot \left(\frac{64-64x}{1+x}\right) [/tex3]

[tex3]\boxed {4\sqrt[3]{\frac{x^2 \cdot (1+x)}{1-x}} = f(x)}[/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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