Seja N={1,2,3,...}.Ache todos as funções f:[tex3]\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}[/tex3]
tais que:
I. Se x <y, então f (x)<f (y);
II.f (yf (x))=[tex3]x^{2}[/tex3]
f (xy), para todos x, y [tex3]\in \mathbb{N}[/tex3]
reSP. :f (x)=[tex3]x^{2}[/tex3]
Olimpíadas ⇒ (IBERO) FUNÇÕES Tópico resolvido
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gabrielifce 
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26
13:19
(IBERO) FUNÇÕES
Última edição: gabrielifce (Qui 26 Mar, 2015 13:19). Total de 1 vez.
Incrível.
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Auto Excluído (ID:12031)
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Mar 2015
27
00:16
Re: (IBERO) FUNÇÕES
Se 
então
)%20=%20f(y) "f(yf(1)) = f(y)")
porém como a função é estritamente crescente ela é injetora logo
%20=%20y "yf(1) = y")
para todo 
logo
=1 "f(1)=1")
então
)%20=%20x%5E2f(x) "f(f(x)) = x^2f(x)")
))%20=%20f(x%5E2f(x))%20=%20x%5E2f(x%5E3) "f(f(f(x))) = f(x^2f(x)) = x^2f(x^3)")
agora se
)=a%5E2f(ay) "f(yf(a))=a^2f(ay)")
para
)%20=%204x%5E2f(2x)%20=x%5E2f(xf(2)) "4f(2f(x)) = 4x^2f(2x) =x^2f(xf(2))")
)%20=%20a%5E2x%5E2f(ax)%20=%20x%5E2f(xf(a)) "a^2f(af(x)) = a^2x^2f(ax) = x^2f(xf(a))")
não sei avançar daqui
então
porém como a função é estritamente crescente ela é injetora logo
logo
então
agora se
para
não sei avançar daqui
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sex 27 Mar, 2015 00:16). Total de 1 vez.
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