Olimpíadas ⇒ (ARML-adaptada) Números Complexos Tópico resolvido

[gabrielifce]

Se módulo de

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[tex3]x[/tex3]

representa o valor absoluto de

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[tex3]x[/tex3]

, então o valor da expressão:

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[tex3]2014\cdot\left|\cos^3\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\cos^3\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\cos^3\left(\frac{8\pi}{7}\right)\right|[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

penso em dois métodos:

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[tex3]\cos(3x) = 4\cos^3x - 3\cos x[/tex3]

ou

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[tex3](a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b+c)(ab+bc+ac) - 3abc[/tex3]

acredito mais no primeiro

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[tex3]\frac{2014}4\cdot\left|\cos\left(\frac{6\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{12\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{24\pi}{7}\right) + 3(\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right))\right|[/tex3]

ai é provar que

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[tex3]\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right) = -\frac12[/tex3]

e

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[tex3]\cos\left(\frac{6\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{12\pi}{7}\right)+\cos\left(\frac{24\pi}{7}\right) = -\frac12[/tex3]

então

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[tex3]\frac{2014}4 |-\frac12 -\frac32| = \frac{2014}2 = 1007[/tex3]